감마함수(gamma function)의 유일성(uniqueness)
지난 글에서 다음과 같이 정의된 감마함수(gamma function) \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 가 계승(factorial) 함수의 확장임을 보였다. 하지만 계승 함수는 자연수에서만 정의된 함수이므로 이를 실수로 확장하는 연속함수는 무한히 많이 존재한다. 그렇다면 왜 하필 다른 함수가 아닌 감마함수를 계승함수의 자연스러운 확장으로 여기는 걸까? 우선 감마함수가 가지는 몇 가지 유용한 사실들을 살펴보자. 먼저 감마함수는 (1) $f(1) = 1$이 성립하고, (2) 모든 $x > 0$에 대하여 $f(x+1) = x f(x)$가 성립한다. 또한 감마함수가 가지는 중요한 사실..