무리수의 무리수 제곱이 유리수가 될 수 있을까?

위의 질문에 관한 간단하지만 신기한 증명이 있어서 올려본다. 

정리. $s^t$가 유리수가 되게 하는 두 양의 무리수 $s$, $t$가 존재한다. 

증명. 만약 ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$가 유리수라면 간단히 $s=t=\sqrt{2}$로 정의하는 것으로 증명이 끝난다. 만약 ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$이 무리수라면, $s={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$, $t=\sqrt{2}$로 정의하자. 그러면 

$$s^t={\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2.$$ 

따라서 증명이 끝난다. 

(그 증명이 쉽지는 않지만 실제로 ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$는 무리수이다.)