주어진 방정식의 해의 위치를 근사하는 방법

아래의 정리는 $n$개의 실근을 가지는 실계수 다항식 $p(x)$의 해의 위치를 근사할 수 있는 정리이다. 예를 들어 다음의 3차 방정식을 생각해 보자.

\[ x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 \]

위 다항식에 아래의 정리를 적용하면 ($n=3$, $a_{n-1} = -2$, $a_{n-2} = -1$ 이므로) \[ -\frac{-2}{3} \pm \frac{2}{3} \sqrt{(-2)^2 - \frac{6}{2} \, (-1)} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3} \pm \frac{2}{3} \sqrt{7} \]

을 얻는다. 따라서 주어진 3차 방정식의 세 근은 모두 구간 $[-1,0972,\, 2.4035]$ 안에 존재해야만 함을 알 수 있다. 실제로 세 근을 계산해보면 $x = -1,\,1,\,2$ 이며 위의 정리가 성립함을 알 수 있다.

 

정리

실수를 계수로 갖는 $n$ ($n \geq 2$)차 다항식

\[ p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x_1 + a_0 \]

이 $n$개의 실근을 가진다고 가정하자. 그러면 모든 근들은 아래 두점을 양 끝으로 하는 구간 안에 놓인다.

\[ -\frac{a_{n-1}}{n} \pm \frac{n-1}{n} \sqrt{a_{n-1}^2 - \frac{2n}{n-1} \, a_{n-2}}. \]

증명. 주어진 다항식의 $n$개의 근을 각각 $y_1,\, y_2,\, \ldots,\, y_n$이라 하자. 그러면

\[ p(x) = (x-y_1)(x-y_2) \cdots (x-y_n) \]

와 같이 쓸 수 있다. 위 식을 전개하여 계수를 비교하면

\[ \begin{aligned} -a_{n-1} &= y_1 + y_2 + \cdots + y_n \\ a_{n-2} &= y_1(y_2 + \cdots + y_n) + \sum_{2 \leq i < j} y_iy_j. \end{aligned} \]

따라서 $y_1$에 대하여

\[ a_{n-1}^2 - 2a_{n-2} - y_1^2 = \sum_{i=2}^{n} y_i^2 \]

라는 값을 얻는다. 이제 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwartz inequality)에 의하여

\[ \begin{aligned} (a_{n-1} + y_1)^2 &= (y_2 + y_2 + \cdots + y_n)^2 \\ &\leq (n-1) (y_2^2 + y_3^2 + \cdots + y_n^2) \\ &= (n-1)( a_{n-1}^2 - 2a_{n-2} - y_1^2) \end{aligned} \]

가 됨을 알 수 있다. 위 부등식을 정리하면

\[ y_1^2 + \frac{2a_{n-1}}{n}y_1 - \frac{n-2}{n}a_{n-1}^2 + \frac{2(n-1)}{n}a_{n-2} \leq 0 \]

를 얻고 따라서 근 $y_1$이 (같은 방법으로 모든 $y_i$가) 위 이차방정식의 두 근 사이에 놓여야만 함을 알 수 있다. 따라서 증명이 완료된다.