극값 정리(Extreme Value Theorem)의 한 응용

실해석학에서 긴밀 집합(compact set)에 대한 개념을 배우고 난 후 배우는 수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 정리가 하나 있다. 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 이 정리는 아래와 같다.

정리 1 (극값 정리 또는 최대-최소 정리)

집합 $E \subseteq \R^n$를 긴밀 집합(compact set)이라 하고 함수 $f : E \to \R$가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 $f$는 집합 $E$ 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 $x \in E$에 대하여 $f(x^*) \leq f(x) \leq f(y^*) $를 만족하는 $x^*,\, y^* \in E$가 존재한다.

위 정리에 대한 증명은 생략하기로 하자. 대신에 극값 정리를 이용하여 "$\R^n$에서 모든 노름은 동치이다." 라는 명제를 증명해 보자. 

먼저 이 명제보다 더 일반적인 다음의 정리를 살펴보고 증명해 보도록 하자.

정리 2

$m \times n$ 행렬 $A$의 모든 열벡터(column vector)가 선형독립(linearly independent)이라 하자. 또한 $\norm{\cdot}_\alpha$와 $\norm{\cdot}_\beta$를 각각 $\R^m$과 $\R^n$ 위에서의 노름(norm)이라 하자. 그러면 적당한 실수$c_1>0$, $c_2>0$가 존재하여 모든 $x \in \R^n$에 대하여 아래 부등식을 만족한다.

\[ c_2 \norm{x}_\beta \leq \norm{Ax}_\alpha \leq c_1 \norm{x}_\beta. \tag*{$(\ast)$} \]

증명. 먼저 함수 $f: \R^n \to \R$를 임의의 $x \in \R^n$에 대하여 $f(x) = \norm{Ax}_\alpha$로 정의하자. 그러면 이 함수 $f$는 $\R^n$.에서 연속임을 간단히 보일 수 있다. 이제 집합

\[ E = \set{x \in \R^n}{\norm{x}_\beta = 1} \]

를 정의하자. $S$는 닫혀있고(closed) 유계(bounded)이기 때문에, (하이네-보렐 정리에 의하여) 긴밀 집합이다. 따라서 여기에 극값 정리를 적용하면 임의의 $x \in E$에 대하여 $f(x^*) \leq f(x) \leq f(y^*) $를 만족하는 $x^*,\, y^* \in E$를 찾을 수 있다.

우선 $c_1 = f(x^*)$라 하자. 그러면 간단히 $c_1 \geq 0$임을 보일 수 있다. 하지만 만약 $c_1 = 0$이라 하면,

\[ c_1 = f(x^*) = \norm{Ax^*}_\alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad Ax^* = 0 \]

을 얻는다. 또한 $A$의 모든 열벡터가 선형독립이므로 $x^* = 0$이고 따라서 $\norm{x^*}=0$임을 알 수 있다. 하지만 $x^* \in E$라는 사실로부터 $\norm{x^*} = 1$이여야만 하고 따라서 모순이 발생한다. 즉, $c_1>0$이여야만 한다. 마찬가지 방법으로 $c_2 = f(y^*)$라 정의하면 $c_2>0$임을 보일 수 있다.

이제 $x=0$인 경우, 주어진 부등식 $(\ast)$가 성립함은 자명하다. 따라서 $x \neq 0$인 경우를 생각해 보자. 이 경우, $\norm{x}_\beta >0$이므로, $x / \norm{x}_\beta$를 정의할 수 있고, (이 원소의 노름이 $1$이므로) $x / \norm{x}_\beta \in S$임을 알 수 있다. 따라서

\[ c_2 \leq \norm{A \frac{x}{\norm{x}_\beta}}_\alpha \leq c_1 \quad \Rightarrow \quad c_2 \leq \frac{1}{\norm{x}_\beta} \norm{A x}_\alpha \leq c_1 \]

를 얻는다. 이제 위 부등식의 양변에 $\norm{x}_\beta$를 곱해주면, 원하는 부등식 $(\ast)$를 얻는다.

위 정리의 따름정리로써 다음을 얻는다.

따름정리 3

$\R^n$에서 모든 노름은 동치이다.

증명. $\norm{\cdot}_\alpha$와 $\norm{\cdot}_\beta$가 $\R^n$에서의 노름이라 하자. 이제 $A$를 $n \times n$ 단위행렬(identity matrix)라 하고 정리 2를 적용하면, 임의의 $x \in \R^n$에 대하여

\[ c_2 \norm{x}_\beta \leq \norm{x}_\alpha \leq c_1 \norm{x}_\beta \]

를 얻는다. 따라서 $\norm{\cdot}_\alpha$와 $\norm{\cdot}_\beta$는 서로 동치이다.