극값 정리(Extreme Value Theorem)의 한 응용

실해석학에서 긴밀 집합(compact set)에 대한 개념을 배우고 난 후 배우는 수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 정리가 하나 있다. 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 이 정리는 아래와 같다.

정리 1 (극값 정리 또는 최대-최소 정리)

집합 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$를 긴밀 집합(compact set)이라 하고 함수 $f:E\to \mathbb{R}$가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 $f$는 집합 $E$ 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 $x\in E$에 대하여 $f(x^{\ast })\le f(x)\le f(y^{\ast })$를 만족하는 $x^{\ast },y^{\ast }\in E$가 존재한다.

위 정리에 대한 증명은 생략하기로 하자. 대신에 극값 정리를 이용하여 "${\mathbb{R}}^n$에서 모든 노름은 동치이다." 라는 명제를 증명해 보자. 

먼저 이 명제보다 더 일반적인 다음의 정리를 살펴보고 증명해 보도록 하자.

정리 2

$m\times n$ 행렬 $A$의 모든 열벡터(column vector)가 선형독립(linearly independent)이라 하자. 또한 ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$와 ${\Vert \cdot \Vert }_{\beta }$를 각각 ${\mathbb{R}}^m$과 ${\mathbb{R}}^n$ 위에서의 노름(norm)이라 하자. 그러면 적당한 실수$c_1>0$, $c_2>0$가 존재하여 모든 $x\in {\mathbb{R}}^n$에 대하여 아래 부등식을 만족한다.

$$\begin{array}{}(\ast )& c_2{\Vert x\Vert }_{\beta }\le {\Vert Ax\Vert }_{\alpha }\le c_1{\Vert x\Vert }_{\beta }.\end{array}$$

증명. 먼저 함수 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$를 임의의 $x\in {\mathbb{R}}^n$에 대하여 $f(x)={\Vert Ax\Vert }_{\alpha }$로 정의하자. 그러면 이 함수 $f$는 ${\mathbb{R}}^n$.에서 연속임을 간단히 보일 수 있다. 이제 집합

$$E=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n\right|{\Vert x\Vert }_{\beta }=1\}$$

를 정의하자. $S$는 닫혀있고(closed) 유계(bounded)이기 때문에, (하이네-보렐 정리에 의하여) 긴밀 집합이다. 따라서 여기에 극값 정리를 적용하면 임의의 $x\in E$에 대하여 $f(x^{\ast })\le f(x)\le f(y^{\ast })$를 만족하는 $x^{\ast },y^{\ast }\in E$를 찾을 수 있다.

우선 $c_1=f(x^{\ast })$라 하자. 그러면 간단히 $c_1\ge 0$임을 보일 수 있다. 하지만 만약 $c_1=0$이라 하면,

$$c_1=f(x^{\ast })={\Vert A{x}^{\ast }\Vert }_{\alpha }=0\Rightarrow A{x}^{\ast }=0$$

을 얻는다. 또한 $A$의 모든 열벡터가 선형독립이므로 $x^{\ast }=0$이고 따라서 $\Vert x^{\ast }\Vert =0$임을 알 수 있다. 하지만 $x^{\ast }\in E$라는 사실로부터 $\Vert x^{\ast }\Vert =1$이여야만 하고 따라서 모순이 발생한다. 즉, $c_1>0$이여야만 한다. 마찬가지 방법으로 $c_2=f(y^{\ast })$라 정의하면 $c_2>0$임을 보일 수 있다.

이제 $x=0$인 경우, 주어진 부등식 $(\ast )$가 성립함은 자명하다. 따라서 $x\ne 0$인 경우를 생각해 보자. 이 경우, ${\Vert x\Vert }_{\beta }>0$이므로, $x/{\Vert x\Vert }_{\beta }$를 정의할 수 있고, (이 원소의 노름이 $1$이므로) $x/{\Vert x\Vert }_{\beta }\in S$임을 알 수 있다. 따라서

$$c_2\le {\Vert A\frac{x}{{\Vert x\Vert }_{\beta }}\Vert }_{\alpha }\le c_1\Rightarrow c_2\le \frac{1}{{\Vert x\Vert }_{\beta }}{\Vert Ax\Vert }_{\alpha }\le c_1$$

를 얻는다. 이제 위 부등식의 양변에 ${\Vert x\Vert }_{\beta }$를 곱해주면, 원하는 부등식 $(\ast )$를 얻는다.

위 정리의 따름정리로써 다음을 얻는다.

따름정리 3

${\mathbb{R}}^n$에서 모든 노름은 동치이다.

증명. ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$와 ${\Vert \cdot \Vert }_{\beta }$가 ${\mathbb{R}}^n$에서의 노름이라 하자. 이제 $A$를 $n\times n$ 단위행렬(identity matrix)라 하고 정리 2를 적용하면, 임의의 $x\in {\mathbb{R}}^n$에 대하여

$$c_2{\Vert x\Vert }_{\beta }\le {\Vert x\Vert }_{\alpha }\le c_1{\Vert x\Vert }_{\beta }$$

를 얻는다. 따라서 ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$와 ${\Vert \cdot \Vert }_{\beta }$는 서로 동치이다.