[퍼온글] 라마누잔과 1729

※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/08/09/708

오늘은 라마누잔의 $1729$라는 숫자에 대한 얘기인데, $1729$라는 숫자가 라마누잔의 눈에 들어올 수 있었던 수학적인 배경에 대해 말하고자 한다.

먼저 하디의 회고를 살펴보자.

그(라마누잔)가 아파서 Putney(런던의 남서부 지구)에 있을 때 찾아갔던 일을 기억한다. 나는 번호판이 1729인 택시를 탔는데 이 숫자가 무지하게 평범한 숫자[dull one]이라는 걸 깨닫고는, 이것이 불길한 징조가 아니길 바랬다. "아니야" 라고 그가 대답하면서 "매우 흥미로운 숫자이지. 그것은 두 개의 세제곱수로 나타내는 방법이 두 가지인 최소의 자연수이거든."이라고 말했다.

다시 말해

$$1729={12}^3+1^3={10}^3+9^3$$

와 같이 나타낼 수 있음을 말하는 것이다. 이러한 일화를 보면, 라마누잔이 굉장히 변태같았다고 느껴질지 모른다. (물론 라마누잔은 수학적으로 변태가 맞다.) 그러나 최소한 $1729$라는 숫자에만 집중한다면, $1729$는 라마누잔의 시야에 매우 잘 들어왔던 수였을 것이라고 추측한다. 나는 오히려 하디가 그것을 그리 쉽게 놓친 것이 이상하다. 물론 라마누잔은 변태이기 때문에, 이미 훨씬 전에 아무런 수학적인 관련 없이 이러한 것을 알고 있었을 지도 모른다는 점도 미리 밝혀둔다.

라마누잔은 modular equation과 분할수(partition number)에 대한 연구에서 많은 성과를 낸바가 있다.

아래 정의된 함수의 계수로 등장하는 라마누잔의 타우를 보자.

$$\mathrm{\Delta }(z)=\sum _{n\ge 1}\tau (n)q^n=q\prod _{n\ge 1}(1-q^n{)}^{24}$$

숫자 $24$가 등장한다. 이 함수는 modular form of weight 12이다. 이 식은 다음과 같은 표현을 갖는다.

$$\mathrm{\Delta }(z)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)$$

$12$의 세 제곱인 $1728$이 등장했다. 여기서 $E_4$와 $E_6$는 Eisenstein series라 불리는 함수들이다. 그러면 유명한 j-invariant는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

$$j(\tau )=\frac{E_4^3}{\mathrm{\Delta }(z)}=1728\frac{E_4^3}{E_4^3-E_6^2}={12}^3\frac{E_4^3}{E_4^3-E_6^2}.$$

물론 이러한 것들에 대해서 라마누잔이 매우 잘 알고 있었음은 의심의 여지가 없다.

라마누잔이 분할수에 대하여 이룬 발견도 한번 살펴볼 필요가 있다.

$$\begin{array}{rl}p(5k+4)& \equiv 0(\mathrm{mod}5)\\ p(7k+5)& \equiv 0(\mathrm{mod}7)\\ p(11k+6)& \equiv 0(\mathrm{mod}11)\end{array}$$

여기서 $5,7,11$이라는 숫자는 각각 $1$을 더하면, $6,8,12$가 되어 모두 $24$의 약수가 된다. 그리고 여기서 $5k+4,7k+5,11k+6$도 아무렇게나 나오는 것이 아니라,

$$\begin{array}{rl}24\times 4& \equiv 1(\mathrm{mod}5)\\ 24\times 5& \equiv 1(\mathrm{mod}7)\\ 24\times 6& \equiv 1(\mathrm{mod}1)1\end{array}$$

를 만족시킨다.

또한 하디와 라마누잔의 분할수에 대한 근사식

$$p(n)\sim \frac{\exp \left(\pi \sqrt{2n/3}\right)}{4n\sqrt{3}}\text{ as }n\to \mathrm{\infty }$$

를 확장한 Rademacher의 공식을 보면,

$$p(n)=\frac{1}{\pi \sqrt{2}}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k(n)\sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh \left(\frac{\pi }{k}\sqrt{\frac{2}{3}(n-\frac{1}{24})}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)$$

라 하여 $24$가 살며시 등장하고 있는 것을 볼 수 있다.

이러한 사태의 근원은, 분할수의 생성함수

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(n)x^n=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{1-x^k}\right)$$

를 다음과 같이 생긴 Dedekind eta 함수

$$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)=e^{\pi i\tau /12}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi in\tau })$$

를 통해 공략하는데서 찾아야 할 것이다.

한마디로 말하자면, 라마누잔의 수학은 $12$와 $24$가 난무하는 세계인 것이다. 이런 사람에게 $1729$라는 숫자가 눈에 들어왔을 개연성은 매우 높다고 할 수 있다. 그렇다면 라마누잔같은 변태가 이것을 놓치는게 더 이상한 일이 아닌가?

Michio Kaku의 책 Hyperspace의 The mystery of Modular functions 섹션도 좀 과장이 있긴 하지만 다음과 같은 언급을 하고 있다.

"Srinivasa Ramanujan was the strangest man in all of mathematics, probably in the entire history of science. He has been compared to a bursting supernova, illuminating the darkest, most profound corners of mathematics, before being tragically struck down by tuberculosis at the age of 33, like Riemann before him. Working in total isolation from the main currents of his field, he was able to rederive 100 years’ worth of Western mathematics on his own. The tragedy of his life is that much of his work was wasted rediscovering known mathematics. Scattered throughout the obscure equations in his notebooks are these modular functions, which are among the strangest ever found...

"In the work of Ramanujan, the number 24 appears repeatedly. This is an example of what mathematicians call magic numbers, which continually appear where we least expect them, for reasons that no one understands. Miraculously, Ramanujan’s function also appears in string theory... In string theory, each of the 24 modes in the Ramanujan function corresponds to a physical vibration of the string...

"When the Ramanujan function is generalized, the number 24 is replaced by the number 8. Thus, the critical number for the superstring is 8 + 2, or 10. This is the origin of the tenth dimension. The string vibrates in ten dimensions because it requires these generalized Ramanujan functions in order to remain self - consistent. In other words, physicists have not the slightest understanding of why ten and 26 dimensions are singled out as the dimension of the string. "

"It’s as though there is some kind of deep numerology being manifested in these functions that no one understands..."

"In the final analysis, the origin of the ten - dimensional theory is as mysterious as Ramanujan himself. When asked by audiences why nature might exist in ten dimensions, physicists are forced to answer, "We don’t know."

아무튼 결론은 라마누잔 만세! 그리고 1729에 대해서는 라마누잔이 가진 감각은 상당히 예민했을 것이라는 점을 나는 말하고 싶었다.