에르미트-아다마르 부등식(Hermite-Hadamard inequality)

에르미트-아다마르 부등식(Hermite-Hadamard inequality)이란 볼록함수에 대해 성립하는 부등식 중 하나로써, 볼록함수(convex function) $f:[a,b]\to \mathbb{R}$에 대하여 $f$를 구간 $[a,b]$에서 적분한 적분값의 평균을 간단히 근사하는 방법을 제공한다.

이번 글에서는 에르미트-아다마르 부등식을 증명하고, 이를 이용한 몇 가지 예제들을 살펴보고자 한다.

정리. 에르미트-아다마르 부등식(Hermite-Hadamard inequality)

볼록함수(convex function) $f:[a,b]\to \mathbb{R}$에 대하여 다음의 부등식이 항상 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(H-H)}& f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}.\end{array}$$

증명. 볼록함수의 정의에 의하여, 임의의 $0\le t\le 1$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}(\ast )& f(ta+(1-t)b)\le tf(a)+(1-t)f(b).\end{array}$$

이제 임의의 $x\in [a,b]$에 대하여 $t=(b-x)(b-a{)}^{-1}$로 정의하자. 그러면 $0\le t\le 1$이고 $1-t=(x-a)(b-a{)}^{-1}$임을 간단히 확인할 수 있다. 또한

$$ta+(1-t)b=\frac{b-x}{b-a}a+\frac{x-a}{b-a}b=\frac{(b-x)a+(x-a)b}{b-a}=\frac{xb-xa}{b-a}=x.$$

따라서 $t$값을 $(\ast )$에 대입하여 정리하면,

$$\begin{array}{rl}f(x)& \le \frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\ & =\frac{b-a}{b-a}f(a)+\frac{a-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\ & =f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\end{array}$$

참고로 위 부등식은 $f$가 볼록함수일 때, $f$의 그래프는 언제나 $(a,f(a))$와 $(b,f(b))$를 연결하는 직선의 아래쪽에 놓인다는 사실로부터 기하학적으로 보일 수도 있다. 이제 양변을 구간 $[a,b]$에서 적분하면,

$${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)dx=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$$

따라서 양변을 $b-a$로 나누어 주면 식 (H-H)의 오른쪽 부등식이 증명된다.

이제 (H-H)의 왼쪽 부등식을 증명해 보자. 먼저

$$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx+\frac{1}{b-a}{\int }_{\frac{a+b}{2}}^{b}f(y)dy$$

이제 우변의 두 적분에 각각 $x=\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2}u$, $y=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}v$로 치환을 해 주면,

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx& =-\frac{1}{2}{\int }_1^{0}f(\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2}u)du+\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}v)dv\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1[f(\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2}t)+f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t)]dt\end{array}$$

이제 $p=\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2}t$, $q=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t$라 정의하면, $p,q\in [a,b]$이고 따라서 볼록함수의 성질에 의해,

$$\frac{1}{2}f(p)+\frac{1}{2}f(q)\ge f(\frac{p}{2}+\frac{q}{2})=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$

를 얻는다. 그러므로

$$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_0^{1}f\left(\frac{a+b}{2}\right)dx=f\left(\frac{a+b}{2}\right).$$

즉, 식 (H-H)의 왼쪽 부등식 또한 성립한다. 따라서 에르미트-아다마르 부등식이 성립한다.

예제1. 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$를 $f(x)=e^x$로 정의하자. 그러면 $f$는 볼록함수이다. 따라서 임의의 $a<b$에 대하여 에르미트-아다마르 부등식을 적용하면,

$$e^{\frac{a+b}{2}}\le \frac{e^b-e^a}{b-a}\le \frac{e^a+e^b}{2}$$

를 얻는다. 이제 적당한 $0<x<y$가 존재하여 $a=\ln (x)$, $b=\ln (y)$로 나타낼 수 있으므로, 이를 위 부등식에 대입하여 정리하면

$$\sqrt{xy}\le \frac{y-x}{\ln (y)-\ln (x)}\le \frac{x+y}{2}$$

를 얻는다. 위 부등식의 가운데 항을 두 수 $0<x<y$의 로그평균(logarithmic mean)이라 한다.

예제2. 이번에는 함수 $g:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$를 $g(x)=-\ln (x)$로 정의하자. $g$가 볼록함수이므로 임의의 $0<x<y$에 대하여 에르미트-아다마르 부등식을 적용하면

$$-\ln \left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{-y\ln (y)+y+x\ln (x)-x}{y-x}\le \frac{-\ln (x)-\ln (y)}{2}$$

가 성립한다. 위 부등식에 $-1$을 곱하고 정리하면

$$\frac{\ln (x)+\ln (y)}{2}\le \frac{y\ln (y)-x\ln (x)}{y-x}-1\le \ln \left(\frac{x+y}{2}\right)$$

을 얻는데 다시 이 부등식에 지수함수를 적용하자. 그러면

$$\sqrt{xy}\le \frac{1}{e}\sqrt[y-x]{\frac{y^y}{x^x}}\le \frac{x+y}{2}$$

를 얻는다. 위 부등식의 가운데 항을 두 수 $0<x<y$의 아이덴트릭 평균(identric mean)이라 한다.

참고. 사실 위 예제들에서 등장한 여러가지 평균들 사이에는 아래의 부등식이 성립한다.

$$\sqrt{xy}\le \frac{y-x}{\ln (y)-\ln (x)}\le \frac{1}{e}\sqrt[y-x]{\frac{y^y}{x^x}}\le \frac{x+y}{2}$$

위 평균들은 스톨라스키 평균(Stolarsky mean)이라 불리는 평균의 특수한 경우들인데, 이에 대해서는 다음에 자세히 다루어 보기로 하자.