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Problems and Solutions #027
Problem #027 양의 정수 n=a1a2a3⋯a2017이 0이 아닌 수 ai∈{1,2,…,9}로만 이루어진 2017 자리의 수라고 하자. 이 때, n 자체가 2017으로 나누어 떨어지거나, 또는 적당히 ai를 0으로 바꾸어 얻은 수가 2017로 나누어 떨어지게 할 수 있음을 증명하여라. (단, 모든 ai를 0으로 바꾸는 것은 금지한다.) 우선 n0=0으로 정의하자. 또한 임의의 k=1,2,…,2017에 대하여, nk가 n에서 앞에서부터 k자리 이후의 모든 자리를 0으로 바꾸어 얻은 수라 하자. 즉, \[ n_k = a_{1}..
Others/Olympiad  |  2017. 5. 3. 21:55
Problems and Solutions #021
Problem #021 임의의 양의 정수 n에 대하여 n개의 연속한 합성수가 반드시 존재함을 보여라. 주어진 양의 정수 n과 양의 정수 1≤k≤n에 대하여, An,k를 다음과 같이 정의하자. An,k=(n+1)!+k+1 만약 An,k가 모두 합성수임을 보일 수 있으면 증명이 완료된다. 이제 An,k를 정리하면 An,k=(k+1)((n+1)!k+1+1) 위 식의 우변의 괄호 안의 식은 언제나 정수이고 k+1≥2이므로, 모든 1≤k≤n에 대하여 An,k는 합성수임을 알 수 있다.
Others/Olympiad  |  2017. 2. 23. 02:31
Problems and Solutions #015
Problem #015 7개의 자연수로 이루어진 순서쌍 a=(a1,a2,…,a7)를 생각하자. 또한 순서쌍 b=(b1,b2,…,b7)를 a의 각 성분을 치환(permute)하여 얻은 새로운 순서쌍이라 하자. 이때 아래의 값 (∗)(a1−b1)(a2−b2)⋯(a7−b7) 의 값은 언제나 짝수가 됨을 증명하여라. 예를 들어, a=(3,1,4,1,5,9,2)이고 b=(1,9,2,3,4,5,1)라 하면, (3−1)(1−9)(4−2)(1−3)(5−4)(9−5)(2−1)=256 이 되어 짝수가 된다. 임의의 자..
Others/Olympiad  |  2016. 10. 18. 12:55
Problems and Solutions #013
Problem #013 1부터 2016까지의 모든 수를 일렬로 나열한 수 M을 생각하자. 즉,M=123…891011…20152016.이때, M을 9로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. N이 임의의 수라 하자. 이제 N을 적당한 자리수로 끊어 N을 몇 개의 수로 분할한다. 이 분할된 수들의 합을 S라 하자. 그러면 N과 S를 9로 나누었을 때의 나머지는 서로 같다. 이 사실이 성립함은 합동식을 이용하면 간단하게 증명이 가능하므로 생략하도록 하자. 예를 들어 N=18274610229을 생각해 보자. 다음으로 N을 18, 274, 6, 102, 29로 적당히 분할한다. 이제 이 수들의 합은 $18+2..
Others/Olympiad  |  2016. 10. 6. 04:28
Problems and Solutions #011
Problem #011 1부터 5까지의 숫자가 적힌 리스트가 있다고 하자. 이 리스트에서 두개의 숫자 a, b를 뽑아 a와 b는 리스트에서 지운 후, 대신에 ab+a+b를 계산하여 리스트에 다시 포함시킨다. 예를 들어 두개의 숫자 3과 4를 뽑았다면, 리스트에서 3과 4를 지우고 대신에 3⋅4+3+4=19를 포함시켜 리스트에는 숫자 1, 2, 5, 19만이 남게 된다. 이러한 과정을 4번 반복하면 리스트에는 최종적으로 단 하나에 숫자만이 남게 되는데, 이 때 이 숫자는 숫자를 뽑는 순서와 상관 없이 언제나 719가 된다. 이를 증명하여라. 만약에 리스트에 1부터 100까지의 숫자가 있었다면, 최종적으로 남는 숫자..
Others/Olympiad  |  2016. 8. 20. 08:34
Problems and Solutions #010
Problem #010 아래와 같이 무한개의 미지수로 이루어진 무한개의 연립방정식을 살펴보자. x1+x3+x5=0x2+x4+x6=0x3+x5+x7=0x4+x6+x8=0⋮⋮⋮⋮ 위 연립방정식의 해를 풀기 위해서는 총 몇 개의 매개변수(parameter)가 필요할까? 우선 위 연립방정식의 첫번째와 세번째 식을 연립하면 x1+x3+x5=0=x3+x5+x7 즉, $x_1..
Others/Olympiad  |  2016. 8. 20. 06:30
Problems and Solutions #006
Problem #006 2n의 첫 네자리의 숫자가 2016이 되게 하는 n이 존재함을 보여라. ※ 위 문제는 임의의 k자리 양의 정수 x에 대하여 2n의 첫 k 자리의 숫자가 x가 되게 하는 n의 존재성을 증명하는 문제로 확장 가능하다. (또한 이제부터 보일 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.) 위 문제는 아래의 부등식을 만족하는 양의 정수 m,n을 찾는 문제와 같다. 2016⋅10m≤2n<2017⋅10m 위 식의 양변에 밑이 10인 로그를 취하면 m+log⁡2016≤nlog⁡2<m+log⁡2017 이제 임의의 x에 대하여 {x}를 x의 소수부분, 즉, ..
Others/Olympiad  |  2016. 8. 3. 12:34

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