jjycjn's Math Storehouse

가우스 적분(Gaussian integral)이란 아래와 같은 형태의 이상적분의 값을 말한다. $$2I:=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx$$ 함수 $f(x)=e^{-x^2}$이 우함수(even function)이기 때문에 위 식이 자명하게 성립한다. 가우스 적분을 계산하는 방법은 여러가지가 알려져 있는데, 오늘은 그 중에 간단한 방법 몇 가지만 알아보고자 한다. 방법 1. 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli theorem)을 이용한 방법 먼저 아래와 같은 이중적분을 생각해 보자. \[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} xe..

라플라스 변환(Laplace)은 적분 변환(Integral transform)의 일종으로 피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)의 이름을 따 붙여졌다. 라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. [정의 1] 주어진 함수 $f(x)$와 시간 $t\ge 0$에 대하여 $f$의 라플라스 변환을 다음과 같이 정의한다. $$F(s)=\mathcal{L}(f):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt$$이 때, $s$는 복소수 값을 갖는다...