두 점을 연결하는 최단경로의 곡선
이번 글에서는 언뜻 보면 너무나도 자명한 명제 "두 점을 연결하는 최단경로는 직선이다"를 수학적으로 증명해 볼 것이다. 이 명제는 보통 변분법(calculus of variation)이라는 미적분학의 한 분야에서 널리 쓰이는 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용하여 증명하는데, 여기서 오일러-라그랑주 방정식이란 어떤 함수과 그 도함수에 의존하는 범함수(functional)의 극댓값 또는 극솟값을 찾는데 이용되는 미분방정식의 일종이다. 이를 좀더 자세히 설명하면 다음과 같다. 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation) 먼저 아래와 같은 형태의 범함수 를 생각해 보자. \[ J(f) = \int_a^b L(x,\, f(x),\, f'(x))..