'Banach-Tarski Paradox'에 해당되는 글 4건

바나흐-타르스키 역설 - 5. 증명
S2 위에서의 바나흐-타르스키 역설 이번에는 S2−D에서 보였던 역설을 S2로 확장하는 작업을 해 보자. 이를 위해서는 집합 D를 어떠한 방법을 통해서 무에서 생성해 내는 작업이 수반되어야 한다. 이 작업을 위해서는 우선 집합 D와 만나지 않는 원점을 지나는 직선 l이 필요하다. 이 때, D는 가산집합(countable set)이고, 원점을 지나는 직선의 개수는 비가산(uncountable)이므로 위 조건을 만족하는 (즉, D와 만나지 않는) 직선 l을 반드시 찾을 수 있다. 이제 회전 lθ∈SO3를 직..
Foundations/Set Theory  |  2016. 4. 1. 08:13
바나흐-타르스키 역설 - 4. 하우스도르프 역설
하우스도르프 역설(Hausdorff Paradox) 이제 바나흐-타르스키 역설의 약한 버전인 하우스도르프 역설(Hausdorff paradox)를 증명할 준비가 다 되었다. 이제 집합 S2 위의 원소 p에 대하여 p에 대한 F(φ,ψ)-궤도(orbit)를 아래와 같이 정의하자.{ρ(p) | ρ∈F(φ,ψ)}.따라서 p에 대한 F(φ,ψ)-궤도란 점 p를 F(φ,ψ)의 원소들로 회전하여 얻을 수 있는 모든 점들의 집합을 뜻한다. 그러면 이 집합은 정리 2.1에 의하..
Foundations/Set Theory  |  2016. 4. 1. 05:50
바나흐-타르스키 역설 - 2. 자유군
F(x,y)를 생성원(generator) x, y에 의해 생성된 자유군(free group)이라 하자. 자유군 F(x,y)은 아래의 조건을 만족하는 문자 x, y, x′, y′의 나열들로 구성되어 있다.xx′=x′x=yy′=y′y=e.이 때, e는 F(x,y)의 항등원(unit element)이다. 또한 이 자유군의 연산은 단순히 두 원소의 나열로 정의하자. 예를 들어 u=yyx′yx 이고 v=x′yxy라 하면, u⋅v는 아래와 같이 계산한다. \[ \mathfrak{u..
Foundations/Set Theory  |  2016. 3. 30. 11:50
바나흐-타르스키 역설 - 1. 소개
무한대(infinity)와 무한집합(infinite set)수학에서 무한대(infinity)의 개념을 처음 접하면 우리의 기존 상식이 깨지는 경우가 빈번히 발생한다. 예를 들어 임의의 실수 x∈R을 생각해 보자. 그러면 x+1은 언제나 원래의 수 x보다 크다. 즉, x<x+1이 성립한다. 하지만 x=∞라 하면 이야기가 달라진다. 우선 ∞+1는 무한대에 1을 더해준 것과 같으므로 역시 무한대일 것임은 짐작할 수 있다. 하지만, ∞와 ∞+1의 크기를 비교해 보면 어떻게 될까? 무한대의 대소비교에서는 더이상 위와 같은 부등식이 성립하지 않고, ∞=∞+1이 되는데, 이를 다시 말하면 무한대에 1을 더..
Foundations/Set Theory  |  2016. 3. 30. 11:48

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