평균(mean)에 대하여 (1) - 다양한 평균의 정의

중고등학교 과정에서 평균을 구하는 다양한 방법에 대하여 배운다. 이 중 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 그리고 조화평균(harmonic mean)이 가장 흔히 접하고 또한 응용도 많이 되는 평균들인데, 이들 평균들 사이에 절대부등식이 성립한다. 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리는 이 절대부등식은 다음과 같다. 모든 양수 $a,b$에 대하여,

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$

이 부등식은 단순히 두 양수 $a,b$가 아닌, 임의의 $n$개의 양수 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$에 대해서도 성립한다는 사실을 알 수 있다.

$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$$

잠깐 주제를 돌려보자. 우리는 통계에서 표준편차를 편차들의 제곱의 평균을 구한 후 나온 값의 제곱근으로 정의한다. 왜 이와 같이 복잡한 방법으로 표준편차를 구하는지는 우선 논외로 하고, 표준편차를 구할 때 아래와 같은 형태의 이차평균(quadratic mean)을 사용한다는 사실을 알 수 있다.

$$\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}}$$

이와 같이 우리는 필요에 의해 다양하게 평균을 정의하여 사용한다. 그렇다면 이 모든 평균을 아우를 수 있는 일반화된 평균은 없을까? 멱평균(power mean) 또는 횔더 평균(Hölder mean)이 그 답이 될 수 있다. 멱평균은 다음과 같이 정의한다. 임의의 $n$개의 양수 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$와 $0$이 아닌 임의의 실수 $p$에 대하여,

$$M_p(a_1,a_2,\cdots ,a_n)={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$

위 식에서 $n=1,n=-1,n=2$일 때, 각각 산술평균, 조화평균, 그리고 이차평균을 얻을 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 그렇다면 멱평균으로부터 기하평균까지 유도할 수 있을까? 멱평균 $M_p$는 $p=0$에서는 정의되지 않지만, 로그함수를 씌운 후에 $p$가 $0$으로 수렴할 때의 극한을 생각해 보면,

$$\begin{array}{rl}\underset{p\to 0}{lim}\ln M_p& =\underset{p\to 0}{lim}\frac{\ln \left\{\frac{1}{n}(a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p)\right\}}{p}\\ & =\underset{p\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{n}(a_1^p\ln a_1+a_2^p\ln a_2+\cdots +a_n^p\ln a_n)}{\frac{1}{n}(a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p)}\\ & =\underset{p\to 0}{lim}\frac{a_1^p\ln a_1+a_2^p\ln a_2+\cdots +a_n^p\ln a_n}{a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p}\\ & =\frac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots +\ln a_n}{n}\\ & ={\ln (a_1{a}_2\cdots a_n)}^{\frac{1}{n}}\end{array}$$

위의 극한값의 계산중 두번재 등호에서 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)를 사용하였다. 위 극한값의 계산으로부터 $\underset{p\to 0}{lim}{M}_p=\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$ 임을 알 수 있고, 따라서 자연스럽게 $M_p=\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$라 정의할 수 있다. 

이제 $p$가 $\mathrm{\infty }$ 또는 $-\mathrm{\infty }$로 발산할 때의 극한에 대하여 생각해 보자. 우선 일반성을 잃지 않고 $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$이라 가정하자. 그러면, 

$$\begin{array}{rl}\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{M}_p& =\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{(a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p)}^{\frac{1}{p}}\\ & =a_1\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{\{{\left(\frac{a_1}{a_1}\right)}^p+{\left(\frac{a_2}{a_1}\right)}^p+\cdots +{\left(\frac{a_n}{a_1}\right)}^p\}}^{\frac{1}{p}}\\ & =a_1\\ & =max\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}\end{array}$$

이고 임의의 $p\ne 0$ 에 대하여, $M_p(a_1,a_2,\cdots ,a_n)={(M_{-p}(\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\cdots ,\frac{1}{a_n}))}^{-1}$임을 이용하면, $M_{-\mathrm{\infty }}=min\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$임을 보일 수 있다. 

여기까지 알아본 내용을 정리하면,

$$\begin{array}{llll}{M}_{-\mathrm{\infty }}(a_1,a_2\cdots ,a_n)& =& min\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}& \text{최솟값(minimum)}\\ M_{-1}(a_1,a_2\cdots ,a_n)& =& \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}& \text{조화평균(arithmetic mean)}\\ M_0(a_1,a_2\cdots ,a_n)& =& \sqrt{a_1{a}_2\cdots a_n}& \text{기하평균(geometric mean)}\\ M_1(a_1,a_2\cdots ,a_n)& =& \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}& \text{산술평균(arithmetic mean)}\\ M_2(a_1,a_2\cdots ,a_n)& =& \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}}& \text{이차평균(quadratic mean)}\\ M_{\mathrm{\infty }}(a_1,a_2\cdots ,a_n)& =& max\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}& \text{최댓값(maximum)}\end{array}$$

다음 포스트에서는 멱평균(power mean)을 이용하여 산술-기하-조화평균 부등식을 정리해 볼 것이다.