평균(mean)에 대하여 (2) - 젠센부등식과 이를 이용한 증명들

저번 포스트에서 다양한 방법으로 정의되는 평균들에 대한 소개와, 이를 한꺼번에 아우르는 멱평균(power mean)에 대해 살펴보았다. 또한 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리우는 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이에 성립하는 절대부등식을 소개하였다.

$$\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}\le \sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{a}_i}\le \frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}}$$

실제로 이 부등식은 $n$에 대한 수학적 귀납법(mathematical induction)을 이용하면 어렵지 않게 증명할 수 있다. 이번 포스트에서는 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용한 산술-기하-조화평균 부등식과 서로 다른 두 멱평균에 대한 부등식을 각각 증명할 것이다.

젠센부등식이랑 볼록함수 $f$에 대해 성립하는 다음의 부등식을 말한다. $f(x)$가 구간 $I$에서 볼록함수(convex function)이라 하자. 그러면 $I$ 위의 임의의 점 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$과 $\sum _{i=1}^n{p}_i=1$를 만족하는 양수 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 대하여,

$$f\left(\sum _{i=1}^n{p}_i{a}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{p}_{i}f(a_i)$$

가 성립한다.

이에 대한 증명 역시 수학적 귀납법을 이용하면 간단하게 정리할 수 있으니 한번 집고 넘어가도록 하자.

우선 $n=1$인 경우는 자명하다. 또한 $n=2$ 인 경우에도 볼록함수의 정의에 의해 자명함을 알 수 있다. 이제 $n=k$일 때, 젠센부등식이 성립한다고 가정하자. 우리는 젠센부등식이 $n=k+1$일 때 역시 성립함을 보여야 한다. 이를 위해 우선 $a_1,a_2,\cdots ,a_{n+1}$이 구간 $I$ 위의 임의의 점, $p_1,p_2,\cdots ,p_{n+1}$이 $\sum _{i=1}^{n+1}{p}_i=1$을 만족하는 양수라 하자. 이 부분합의 양변에 $p_{k+1}$을 빼고 $1-p_{k-1}$으로 나누어 주면 다음을 얻는다.

$$\sum _{i=1}^n\frac{p_i}{1-p_{k+1}}=1$$

따라서 귀납법 가정에 의하여,

$$f\left(\sum _{i=1}^n\frac{p_i}{1-p_{k+1}}{a}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\frac{p_i}{1-p_{k+1}}f(a_i)$$ 

을 얻는다. 그러므로,

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{k+1}{p}_{i}f(a_i)& =\sum _{i=1}^k{p}_{i}f(a_i)+p_{k+1}f(a_{k+1})\\ & =(1-p_{k+1})\sum _{i=1}^k\frac{p_i}{1-p_{k+1}}f(a_i)+p_{k+1}f(a_{k+1})\\ & \ge (1-p_{k+1})f\left(\sum _{i=1}^k\frac{p_i}{1-p_{k+1}}{a}_i\right)+p_{k+1}f(a_{k+1})\\ & \ge f((1-p_{k+1})\sum _{i=1}^k\frac{p_i}{1-p_{k+1}}{a}_i+p_{k+1}{a}_{k+1})\\ & \ge f(\sum _{i=1}^k{p}_i{a}_i+p_{k+1}{a}_{k+1})\\ & =f\left(\sum _{i=1}^{k+1}{p}_i{a}_i\right)\end{array}$$

이것으로 $n=k+1$일 때에도 성립함을 보였다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 젠센 부등식이 성립한다. 

이제 젠센부등식을 이용하여 산술-기하평균 부등식을 증명해보자. 이를 위해 $f(x)=-\ln x$라 하자. 이계도함(second derivative)를 이용하면 이 함수는 $x>0$인 범위에서 볼록함수임을 쉽게 알 수 있다. 이제 $p_1=p_w=\cdots =p_n$이라 놓고, 함수 $f$에 젠센부등식을 적용하면,

$$-\ln \left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}{a}_i\right)\le -\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}\ln (a_i)$$

양변에 $-1$을 곱하고 로그함수의 성질을 이용하면,

$$\ln \left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}{a}_i\right)\ge \sum _{i=1}^n\frac{1}{n}\ln (a_i)=\frac{1}{n}\ln \left(\prod _{i=1}^n{a}_i\right)=\ln {\left(\prod _{i=1}^n{a}_i\right)}^{\frac{1}{n}}$$

로그함수는 단조증가(increasing)이므로 양변에 지수함수를 취해주면 산술-기하평균 부등식을 얻을 수 있다.

또한 산술-기하평균 부등식에 $a_i$ 대신에 $\frac{1}{a_i}$를 대입하고 역수를 취해주면, 기하-조화평균 부등식 또한 간단히 증명할 수 있다. 따라서 젠센부등식에 의해 산술-기하-조화평균 부등식이 성립한다.

이제 서로 다른 두 멱평균에 대한 다음의 부등식을 살펴보자. $0$이 아닌 두 실수 $p<q$에 대하여, 

$${\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}\le {\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i^q\right)}^{\frac{1}{q}}$$

만약 위의 부등식이 성립한다면, 이전 포스트에서 다루었던 멱평균과 다른 평균들간의 관계에 의하여, 산술-기하-조화평균을 따름정리로써 증명할 수 있다. 이제 멱평균 부등식을 증명해 보자. $p$와 $q$의 부호에 따라 $0<p<q$, $p<0<q$, $p<q<0$의 세가지 경우를 생각해보자. 먼저 $0<p<q$인 경우, 함수를 $f(x)=x^{q/p}$라 하자. $f$의 이계도함수를 구해보면 $f^{″}(x)=\frac{q}{p}(\frac{q}{p}-1)x^{\frac{q}{p}-2}$이 되므로 $x>0$인 범위에서 볼록함수임을 알 수 있다. 따라서 젠센 부등식에 의하여,

$${\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{\frac{q}{p}}\le \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(a_i^p\right)}^{\frac{q}{p}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i^q$$

이 되고, $f$는 단조증가이므로 양변에 $q$ 제곱근을 취해주면 멱평균 부등식을 얻는다.

$${\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}\le {\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i^q\right)}^{\frac{1}{q}}$$

마지막으로 멱평균 부등식을 이용하여, 산술-기하-조화평균 부등식을 다시 확인해보자. 멱평균 부등식에 의하면 다음의 부등식을 확인할 수 있다.

$$M_1(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\ge \underset{p\to 0}{lim}{M}_p(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\ge M_{-1}(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$$

위 부등식의 각 항들은 각각 산술평균, 기하평균, 조화평균이 되므로 산술-기하-조화평균 부등식을 얻는다.