환(ring)에서 체(field)까지 - 3. 부분환(subring)과 아이디얼(ideal)

부분환(subring)과 아이디얼(ideal)

정의 3.1

주어진 환 $R$의 부분환(subring) $S$란 $R$의 부분집합으로써 $R$에 주어진 연산에 대하여 환이 됨을 의미한다. 다시 말해, 임의의 $a,b\in S$에 대하여 $a-b,ab\in S$가 성립할 때 $S$를 $R$의 부분환이라 한다.

따라서 $S$는 뺄셈(subtraction)과 곱셈(multiplication)에 대하여 닫혀있음을 알 수 있다.

참고. 부분환에 대한 두번째 정의가 주어진 부분집합 $S$가 부분환이 됨을 보이는데 좀 더 유용하다. 왜냐하면 $S$의 원소들이 결합법칙(associativity)과 분배법칙(distributivity)을 만족해야 함을 보일 필요가 없기 때문이다.

예제 3.2

1. 짝수 정수들의 집합 $2\mathbb{Z}$은 $\mathbb{Z}$의 부분환이다. 일반적으로, 임의의 정수 $n$에 대하여 $n$의 배수(multiple)의 집합 $n\mathbb{Z}$는 $Z$의 부분환이 됨을 알 수 있다. 하지만 홀수 정수들의 집합은 $\mathbb{Z}$의 부분환을 이루지 않는다.
2. 부분집합 $\{0,2,4\}$와 $\{0,3\}$은 ${\mathbb{Z}}_6$의 부분환들이다.
3. 집합 $\left\{a+bi\in \mathbb{C}\right|a,b\in \mathbb{Z}\}$는 $\mathbb{C}$의 부분환이다. 이 집합은 가우스 정수환(ring of Gaussian integers)이라고 하는데, (때때로 $\mathbb{Z}[i]$와 같이 나타낸다) 이 집합은 정수론(Number Theory)에서 매우 중요한 역할을 한다.
4. 집합 $\left\{a+b\sqrt{5}\right|a,b\in \mathbb{Z}\}$는 $\mathbb{R}$의 부분환이다.
5. 집합 $\left\{x+y\sqrt{5}\right|x,y\in \mathbb{Q}\}$ 또한 $\mathbb{R}$의 부분환이다.
6. $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)$의 형태를 가진 모든 실행렬(real matrix)의 집합은 $2\times 2$ 실행렬들로 이루어진 환의 부분환을 이룬다.

아이디얼(ideal)이란 부분환의 특수한 경우로써 아래와 같이 정의된다.

정의 3.3

$I$가 환 $R$의 부분환이라 하자.

1. 만약 모든 $a\in I$, $r\in R$에 대하여 $ra\in I$가 성립하면, $I$를 $R$의 왼쪽아이디얼(left ideal)이라 한다. 따라서 $I$는 뺄셈에 대하여 닫혀 있고, 동시에 $R$의 원소를 왼쪽에서 곱하는 것에 닫혀 있다.
2. 오른쪽아이디얼(right ideal) 또한 같은 방법으로 정의된다.
3. 만약 $I$가 왼쪽아이디얼이면서 동시에 오른쪽 아이디얼이면 $I$를 양쪽아이디얼(two-sided ideal) (또는 아이디얼(ideal))이라 한다. 즉, 임의의 $a,b\in I$, $r\in R$에 대하여 $a-b,ar,ra\in I$이면 $I$는 $R$의 아이디얼이다.

예제 3.4

1. 부분환에 대한 예제 (1)과 (2)는 아이디얼이다. 하지만 (3)과 (4), (5), (6)은 아이디얼이 아니다.

2. 임의의 환 $R$에 대하여, 부분집합 $\{0\}$과 $R$은 항상 $R$의 아이디얼이다. 또한 만약 $R$이 체(field)라면 이 둘이 $R$의 유일한 아이디얼이다.
   증명. 우선 $1$이 어떤 아이디얼의 원소라면, 이 아이디얼이 환 전체가 되어야만 함을 쉽게 알 수 있다. 이제 어떤 체의 원소 $a\ne 0$가 아이디얼의 원소라면, $a^{-1}a$ 또한 아이디얼의 원소여야 하고, 따라서 $1$ 또한 그 아이디얼의 원소여야만 한다.

3. $\left(\begin{array}{cc}0& b\\ 0& d\end{array}\right)$의 형태를 가진 실행렬들의 집합은 $2\times 2$ 실행렬들의 집합으로 구성된 환에 대하여 왼쪽아이디얼을 이룬다. 또한 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right)$의 형태를 가진 모든 실행렬들의 집합은 전과 같은 실행렬 환에 대하여 오른쪽아이디얼을 이룬다. 나아가 이 실행렬 환은 $\{0\}$과 자기 자신 외에 또 다른 양쪽아이디얼을 가지지 않는다.

4. 임의의 환의 원소를 계수로 갖고 $a_0=0$인 다항식들의 집합은 아이디얼을 이룬다.
   증명. 위의 성질을 만족하는 다항식은 모두 적당한 $q(x)$에 대하여 $xq(x)$와 같이 나타낼 수 있고, 이러한 형태의 다항식의 집합이 아이디얼임은 간단히 증명할 수 있다.

5. 계수가 모두 짝수 정수인 다항식들의 집합은 $\mathbb{Z}[x]$의 아이디얼이다. 또한 상수계수(constant coefficient)만이 짝수 정수고 나머지 계수들은 임의의 정수인 다항식들의 집합 또한 $\mathbb{Z}[x]$의 아이디얼이다.

이제 주어진 환 $R$의 아이디얼을 구성하는 한가지 중요한 방법에 대해 알아보자.

정의 3.5

$R$을 단위원(unity)이 존재하는 가환환(commutative ring)이라 하자. 그리고 $S$를 $R$의 부분집합이라 하자. 이제 집합 $S$에 의해 생성된 아이디얼(ideal generated by $S$)을 아래와 같이 정의한다:

$$⟨S⟩=\left\{r_1{s}_1+r_2{s}_2+\cdots +r_k{s}_k\in R\right|r_i\in R,s_i\in S,k\in \mathbb{N}\}.$$

특히, $S$가 오직 하나의 원소 $s$로 이루어진 집합인 경우, 위와 같이 정의된 아이디얼을 $s$에 의해 생성된 주아이디얼(principal ideal generated by $s$)이라 한다. 이는, 집합 $⟨s⟩=\left\{rs\right|r\in R\}$와 같다.

참고.

1. 실제로 위와 같이 정의된 집합이 아이디얼임을 간단히 보일 수 있다.
2. 만약 주어진 환이 가환환이 아니라면, 위의 집합은 왼쪽아이디얼이 된다. 이 경우 정의를 약간 수정하는 것으로 오른쪽아이디얼과 양쪽아이디얼을 얻을 수 있다. 만약 주어진 환에 단위원이 존재하지 않는다면, 일반적으로 $S$는 $⟨S⟩$의 부분집합이 되지 않는다.
3. 일반적으로 어떠한 부분집합에 의해 생성된 '무언가'란 그 부분집합을 포함하는 '무언가' 중에서 가장 작은 집합을 의미한다. 따라서 이와 같은 개념을 바탕으로 어떤 부분집합에 의해 생성된 부분군이나 부분환 등에 대하여 생각해 볼 수 있다.

예제 3.6

1. $\mathbb{Z}$ 아이디얼 $2\mathbb{Z}$는 원소 $2$에 의해 생성된 주아이디얼이다. 따라서 $2\mathbb{Z}=⟨2⟩$.
2. 위의 예제 (4) (상수항이 $0$인 $R[x]$의 다항식들의 집합)는 주 아이디얼 $⟨x⟩$이다.
3. 계수가 모두 짝수인 $\mathbb{Z}[x]$의 다항식들의 집합은 주아이디얼 $⟨2⟩$이다. 반면에 상수항만이 짝수인 $\mathbb{Z}[x]$의 다항식들의 집합은 $⟨2,x⟩$와 같으므로 아이디얼이긴 하지만, 주아이디얼은 아니다.
4. 상수계수가 $0$인 $\mathbb{R}[x,y]$의 다항식들의 집합은 아이디얼 $⟨x,y⟩$와 같고 따라서 주아이디얼이 아니다.
5. 임의의 단위원이 존재하는 가환환 $R$에 대하여, 아이디얼 $\{0\}$는 언제나 주아이디얼 $⟨0⟩$이다. 또한 전체 집합 $R$ 또한 주아이디얼 $⟨1⟩$이다.

참고. 다음절에서 $\mathbb{Z}$와 $\mathbb{R}[x]$에 대하여, 모든 아이디얼이 주아이디얼임을 보일 것이다.