사각삼각수(Square Triangular Number)

삼각수(triangular number)란 어떠한 물체를 삼각형 모양으로 쌓았을 때, 그 삼각형을 만들기 위해서 필요한 물체의 총 개수가 되는 수를 말한다. 아래 그림은 첫 다섯개의 삼각수들을 보여준다.

비슷한 방법으로 사각수(square number)를 어떠한 물체를 사각형 모양으로 쌓았을 때, 그 사각형을 만들기 위해서 필요한 물체의 총 개수가 되는 수로 정의하자. 아래 그림은 첫 다섯개의 사각수들을 보여준다.

간단한 계산을 통해 $k$번 째 삼각수 $T_k$와 사각수 $S_k$는 아래의 식을 통해 구할 수 있음을 알 수 있다.

\[ T_k = \frac{k(k+1)}{2}, \qquad S_k = k^2. \]

또한 $1$은 첫번째 삼각수이면서, 동시에 첫번째 사각수가 된다. 이러한 숫자를 사각삼각수(square triangular number)라 정의하자. 또다른 사각삼각수는 $36$이다. 왜냐하면,

\[ 36 = \frac{8(8+1)}{2} = 6^2. \]

즉, $36$은 여덟번째 삼각수이면서, 동시에 여섯번째 사각수가 되기 떄문이다. 그렇다면 $1$과 $36$을 제외한 또 다른 사각삼각수가 존재할까? 만약 사각삼각수의 개수가 유한하다면 가장 큰 사각삼각수는 무엇일까? 반대로 사각삼각수의 개수가 무한하다면, 사각삼각수를 생성하는 공식 같은 것이 존재할까?

사각삼각수(square triangular number)의 무한함과 펠방정식(Pell's equation)

먼저 사각삼각수를 수학적으로 다시한번 정의해보자.

정의. (사각삼각수(square triangular number)

$k$번째 사각삼각수 $N_k$란, 적당한 양의 정수 $t_k$와 $s_k$에 대하여 아래 등식을 만족하는 수를 말한다.

\[ N_k = \frac{t_k(t_k+1)}{2} = s_k^2. \]

이렇게 정의된 사각삼각수 $N_k$의 개수는 무한하고 아래와 같은 방법으로 $N_k$를 계산할 수 있다.

증명. 먼저 아래의 계산을 살펴보자.

\[ \frac{t_k(t_k+1)}{2} = s_k^2 \quad \Rightarrow \quad t_k^2 + t_k - 2s_k^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_k = \frac{\sqrt{1+8s_k^2}-1}{2} \]

따라서 $t_k$가 양의 정수가 되기 위해서 (따라서 $N_k$가 사각삼각수가 되기 위해서) 반드시 $1+8s_k^2$가 완전제곱수가 되어야만 함을 알 수 있다. 즉, 적당한 양의 정수 $r_k$가 존재하여

\[ 1 + 8s_k^2 = r_k^2 \quad \Rightarrow \quad r_k^2 - 8s_k^2 = 1 \]

을 만족해야 한다. 위와 같은 형태의 방정식을 펠방정식(Pell's equation)이라 하는데, 이 펠방정식의 해는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있음이 알려져 있다: 우선 $(r_0,\, s_0) = (1,\,0)$은 위 펠방정식을 만족하는데 이를 자명해(trivial solution)이라 한다. 그리고 자명해가 아닌 최소의 해를 기본해(fundamental solution)라 하고 이를 $(r_1,\, s_1)$로 나타내면, 점화식

\[ r_{k+1} = r_1r_k + 8s_1s_k, \quad s_{k+1} = r_1s_k + s_1r_k \]

을 통해 일반해 $(r_k,\, s_k)$를 구할 수 있다. 또한 이 펠방정식의 기본해 $(r_1,\, s_1)$ 또한 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$의 연분수(continued fraction) 계산을 통해서 구할 수 있음이 알려져 있다. (나중에 기회가 되면 자세히 다뤄보도록 하자.) 이 방법을 통해 $(r_1,\, s_1) = (3,\,1)$를 구할 수 있고, 점화식을 이용하여 일반해 $(r_k,\, s_k)$를 구할 수 있다. 마지막으로 아래의 대입

\[ s_k = s_k,, \quad t_k = \frac{r_k-1}{2}, \quad N_k = s_k^2 \]

을 이용하여, $k$번째 사각삼각수 $N_k$와 $s_k$, $t_k$를 모두 구할 수 있다.

사각삼각수(square triangular number)의 값들

먼저 첫 두개의 사각삼각수의 값을 직접 계산해 보자. 우선 $(r_1,\, s_1) = (3,\,1)$이므로 이를 이용하면,

\[ s_1 = 1, \quad t_1 = \frac{3-1}{2} = 1, \quad N_1 = 1^2 = 1 \]

을 얻는다. 이제 두번째 사각삼각수의 값을 구하기 위해 $(r_2,\,s_2)$의 값을 구해보자.

\[ \begin{aligned} r_2 &= r_1r_1 + 8s_1s_1 = 17 \\ s_2 &= r_1s_1 + s_1r_1 = 6. \end{aligned} \]

따라서 $(r_2,\,s_2) = (17,\,6)$을 얻고 이를 이용하여,

\[ s_2 = 6, \quad t_2 = \frac{17-1}{2} = 8, \quad N_2 = 6^2 = 36 \]

을 얻는다.

$k = 0,\, \ldots,\ 10$일 때, 사각삼각수 $N_k$와 각각에 대응하는 $r_k$, $s_k$, $t_k$를 표로 나타내면 아래와 같다.

$k$	$r_k$	$s_k$	$t_k$	$N_k$
0	0	0	0	0
1	3	1	1	1
2	17	6	8	36
3	99	35	49	1225
4	577	204	288	41616
5	3363	1189	1681	1413721
6	19601	6930	9800	48024900
7	114243	40391	57121	1631432881
8	665857	235416	332928	55420693056
9	3880899	132105	1940449	1882672131025
10	22619537	7997214	11309768	63955431761796