[퍼온글] 라그랑주의 네제곱수 정리(Four Square Theorem)와 그 증명

※ 출처 - http://kevin0960.tistory.com/

디오판토스의 저서 '산학'에는 '모든 양의 정수는 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있다.' 라는 내용이 담겨 있다. 예를 들어,

$$\begin{array}{rl}3& =1^2+1^2+1^2+0^2\\ 31& =5^2+2^2+1^2+1^2\\ 310& ={17}^2+4^2+2^2+1^2\end{array}$$

와 같다. 이 정리는 바셰(Bachet)가 1621년 라틴어로 쓰여진 '산학'을 번역해 소개하면서 유럽 수학계에 널리 알려졌지만, 결국 누구도 이 정리에 대한 증명 또는 반례을 발견하지 못하였고, 결국 바셰의 추측이라는 이름으로 불리게 되었다. 이 후 1770년에 수학자 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)는 이 바셰의 추측이 참임을 처음으로 증명하였다.

정리. [라그랑주의 네 제곱수 정리]

모든 자연수 $n$에 대하여, 아래의 식을 만족하는 네 개의 음이 아닌 정수 $a,b,c,d$가 존재한다.

$$n=a^2+b^2+c^2+d^2$$

이 정리의 증명은 3개의 보조 정리를 필요로 한다.

보조정리 (1)

어떤 두 자연수 $m,n$ 이 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다면, $mn$ 또한 네 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다.

증명. $m,n$이 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하므로, 각각 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$m=a^2+b^2+c^2+d^2,n=x^2+y^2+z^2+w^2$$

이 때 두 수의 곱 $mn$은 다음과 같이 네 제곱수의 합으로 표현된다.

$$\begin{array}{rl}mn& =(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\\ & =(ax+by+cz+dw{)}^2+(ay-bx-cw+dz{)}^2\\ & +(az+bw-cx+dy{)}^2+(aw+bz-cy-dx{)}^2\end{array}$$

따라서 이 보조정리가 성립한다.

보조정리 (2)

만약 어떤 짝수 $2m$이 두 제곱수의 합으로 표현된다면, $m$ 또한 두 제곱수의 합으로 표현 가능하다.

증명. $2m$이 두 제곱수의 합으로 표현되므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다. (단, $x,y$ 는 두 음아닌 정수)

$$2m=x^2+y^2$$

우선 위 식의 좌변은 언제나 짝수이다. 만약 $x$와 $y$의 홀짝성(parity)이 다르다면 좌변이 홀수가 되므로 $x,y$는 홀짝성이 같다. 따라서 $x+y$, $x-y$는 모두 짝수 이다. 따라서, $m$은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$m={\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x-y}{2}\right)}^2$$

이 때, $x+y$와 $x-y$가 모두 짝수 이므로 $m$은 두 음아닌 정수의 제곱의 합으로 표현 가능하다. 증명 끝.

보조정리 (3)

만약 $p$가 홀수인 소수라면 아래 조건을 만족하는 정수 $a,b,k$가 존재한다.

$$a^2+b^2+1=kp,0<k<p$$

증명. $p$가 홀수인 소수이므로 $p$를 $2n+1$이라고 할 수 있다. (단, $n$은 양의 정수) 이 때, 두 집합 $A,B$를 다음과 같이 정의하자.

$$\begin{array}{rl}A& =\left\{a^2\right|a=0,1,\dots ,n\}\\ B& =\left\{-b^2-1\right|b=0,1,\dots ,n\}\end{array}$$

그러면 집합 $A,B$ 는 각각 $modp$에 대해 같은 값은 값을 갖지 않는다: 만약 집합 $A$에서 임의의 서로다른 원소 $x^2,y^2$가 $modp$에 대해 같다면 $p$가 $x^2-y^2$를 나누고 $p$가 소수이므로, $p$는 $x-y$ 또는 $x+y$를 나누게 된다. 그런데 $x-y$는 범위가 $-n$ 이상 $n$ 이하이므로 $p$가 나눈다면 $x-y=0$ 이 되어 $x,y$가 서로 다르다는 조건에 모순. 또한 $x+y$ 는 범위가 $1$ 이상 $2n-1$ 이하이므로 $p$가 나눌 수 없다. 마찬가지 방법으로 $B$ 또한 모든 원소들이 $modp$에 대해 다른 값을 가짐을 확인할 수 있다.

만약 $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$이라 가정해 보자. 그러면

$$\mathrm{♯}(A\cup B)=(n+1)+(n+1)=2n+2$$

를 얻는다. (단 $\mathrm{♯}(X)$는 집합 $X$의 모든 원소의 개수를 나타낸다.) 이제 집합 $C$를 아래와 같이 정의한다.

$$C=\{0,1,2,\dots ,p-1\}$$

그러면 $A$와 $B$는 $modp$에 대하여 모두 $C$의 부분집합이고 따라서 $A\cup B\subseteq C$를 얻는다. 그런데 집합 $C$의 원소의 개수가 $2n+1$ 개 이므로 모순이 발생한다. 결과적으로

$$\mathrm{♯}(A\cap B)\ne \mathrm{\varnothing }$$

따라서 우리는 각 집합 $A$와 $B$에서 $modp$ 값이 같은 두 원소 $a^2$과 $(-b^2-1)$을 택할 수 있다. 그러므로

$$a^2\equiv -1-b^2(\mathrm{mod}p)\Rightarrow a^2+b^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

따라서 적당한 양수 $k>0$에 대하여 $a^2+b^2+1=kp$라 할 수 있다. 또한

$$kp=a^2+b^2+1\le n^2+n^2+1=2n^2+1<(2n+1)(2n+1)=p^2$$

이므로 $k<p$도 성립한다. 따라서 증명 끝.

참고로, $kp$가 3개의 제곱수의 합으로 표현되는 것이 아니라 아래처럼 4 개의 제곱수의 합으로 표현된다고 생각하자.

$$kp=a^2+b^2+1^2+0^2$$

따라서, 홀수인 소수 $p$의 배수 중 4개의 제곱수으로 표현되는 수 $kp$가 언제나 존재함을 알 수 있다.

라그랑주 정리의 증명 (Proof of Lagrange's Four Square Theorem)

증명. 우선 $1$은 자명하게

$$1=1^2+0^2+0^2+0^2$$

로 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 이제 모든 소수 $p$를 4개의 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자: $p=2$인 경우,

$$2=1^2+1^2+0^2+0^2$$

이므로 성립한다. 또한 $p$가 홀수인 소수일때, 4개의 제곱수의 합으로 표현되는 가장 작은 $p$ 배수가 $kp$라 할 때, $k=1$임을 보이자. 일단 보조정리 (3)에 따라 적당한 $0<k<p$가 존재하여 $kp$가 4개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 알고 있다. 이 때 $k$를 이러한 $k$들 중에서 최소의 $k$라고 가정하자.

1. $2\mid k$인 경우,
   $$x^2+y^2+z^2+w^2=kp\equiv 0(\mathrm{mod}2)$$이므로, $x,y,z,w$ 중 홀수의 개수와 짝수의 개수가 같아야 한다. 따라서 일반성을 잃지 않고 아래와 같이 가정할 수 있다.
   $$x\equiv y(\mathrm{mod}2),z\equiv w(\mathrm{mod}2)$$따라서 보조정리 (2)에 의해
   $${\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x-y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{z+w}{2}\right)}^2+{\left(\frac{z-w}{2}\right)}^2=\left(\frac{k}{2}\right)p$$이므로 $k$의 최소성에 모순이 생긴다.
2. $2\nmid k$이고 $k\ge 3$인 경우,
   $$x^2+y^2+z^2+w^2=kp\equiv 0(\mathrm{mod}k)$$이 때 $a,b,c,d$를 다음과 같이 정의하자.
   $$x\equiv a,y\equiv b,z\equiv c,w\equiv d(\mathrm{mod}k),\left|a\right|,\left|b\right|,\left|c\right|,\left|d\right|<\frac{k}{2}$$따라서
   $$nk=|a{|}^2+|b{|}^2+|c{|}^2+|d{|}^2=a^2+b^2+c^2+d^2$$인 $n$이 존재한다. 그런데
   $$nk=a^2+b^2+c^2+d^2<4\times \frac{k^2}{4}=k^2$$이므로 $0\le n<k$임을 알 수 있다.
   (i) 만약 $n=0$이라면 $a=b=c=d=0$이므로,
   $$x\equiv y\equiv z\equiv w\equiv 0(\mathrm{mod}k)$$이다. 이 때,
   $$\frac{p}{k}={\left(\frac{x}{k}\right)}^2+{\left(\frac{y}{k}\right)}^2+{\left(\frac{z}{k}\right)}^2+{\left(\frac{w}{k}\right)}^2\in \mathbb{N}$$가 되므로 $p=k$. 따라서, $k<p$라는 조건에 모순이다.
   (ii) $n\ne 0$이라면, 결과적으로 $nk$와 $kp$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
   $$nk=a^2+b^2+c^2+d^2,kp=x^2+y^2+z^2+w^2$$이 때, 보조정리 (1)에 의해 $nk$와 $kp$의 곱인 $np{k}^2$은 다음과 같이 나타내진다.
   $$\begin{array}{rl}n{k}^{2}p& =r^2+s^2+t^2+u^2\\ r& =ax+by+cz+dw\\ s& =ay-bx-cw+dz\\ t& =az-bw-cx+dy\\ u& =aw+bz-cy-dx\end{array}$$그런데 앞서
   $$a\equiv x,b\equiv y,c\equiv z,d\equiv w(\mathrm{mod}p)$$라 했으므로
   $$\begin{array}{rl}r& \equiv x^2+y^2+z^2+w^2=kp\equiv 0(\mathrm{mod}k)\\ s& \equiv xy-yx+zw-wz\equiv 0(\mathrm{mod}k)\\ t& \equiv xz-yw-zx+wy\equiv 0(\mathrm{mod}k)\\ u& \equiv xw+yz-zy-wx\equiv 0(\mathrm{mod}k)\end{array}$$가 된다. 따라서
   $$\frac{n{k}^{2}p}{k^2}=np={\left(\frac{r}{k}\right)}^2+{\left(\frac{s}{k}\right)}^2+{\left(\frac{t}{k}\right)}^2+{\left(\frac{u}{k}\right)}^2\in \mathbb{N}$$가 되는데, $n$ 은 $k$ 보다 작으므로 $k$의 최소성에 모순이다.

따라서 (a)와 (b)에 의해 $k=1$일 수 밖에 없고, 따라서 모든 소수 $p$ 는 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 마지막으로 $1$을 제외한 모든 자연수 $n$은 소수들의 곱으로 표현될 수 있고 보조정리 (1)을 $n$의 소인수들에 대하여 반복적으로 적용하면 결국 $n$ 또한 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 이로써 라그랑주의 네제곱수 정리의 증명이 완료된다.