[퍼온글] 라그랑주의 네제곱수 정리(Four Square Theorem)와 그 증명

※ 출처 - http://kevin0960.tistory.com/

디오판토스의 저서 '산학'에는 '모든 양의 정수는 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있다.' 라는 내용이 담겨 있다. 예를 들어,

\[ \begin{aligned} 3 &= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 \\ 31 &= 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 \\ 310 &= 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2 \end{aligned} \]

와 같다. 이 정리는 바셰(Bachet)가 1621년 라틴어로 쓰여진 '산학'을 번역해 소개하면서 유럽 수학계에 널리 알려졌지만, 결국 누구도 이 정리에 대한 증명 또는 반례을 발견하지 못하였고, 결국 바셰의 추측이라는 이름으로 불리게 되었다. 이 후 1770년에 수학자 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)는 이 바셰의 추측이 참임을 처음으로 증명하였다.

정리. [라그랑주의 네 제곱수 정리]

모든 자연수 $n$에 대하여, 아래의 식을 만족하는 네 개의 음이 아닌 정수 $a,\, b,\, c,\, d$가 존재한다.

\[ n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \]

이 정리의 증명은 3개의 보조 정리를 필요로 한다.

보조정리 (1)

어떤 두 자연수 $m,\, n$ 이 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다면, $mn$ 또한 네 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다.

증명. $m,\, n$이 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하므로, 각각 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[ m = a^2 + b^2 + c^2 + d^2, \quad n = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \]

이 때 두 수의 곱 $mn$은 다음과 같이 네 제곱수의 합으로 표현된다.

\[ \begin{aligned} mn &= (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) \\ &= (ax + by + cz + dw)^2 + (ay-bx-cw+dz)^2 \\ & \qquad + (az + bw- cx + dy)^2 + (aw + bz -cy - dx)^2 \end{aligned} \]

따라서 이 보조정리가 성립한다.

보조정리 (2)

만약 어떤 짝수 $2m$이 두 제곱수의 합으로 표현된다면, $m$ 또한 두 제곱수의 합으로 표현 가능하다.

증명. $2m$이 두 제곱수의 합으로 표현되므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다. (단, $x,\, y$ 는 두 음아닌 정수)

\[ 2m = x^2 + y^2 \]

우선 위 식의 좌변은 언제나 짝수이다. 만약 $x$와 $y$의 홀짝성(parity)이 다르다면 좌변이 홀수가 되므로 $x,\,y$는 홀짝성이 같다. 따라서 $x+y$, $x-y$는 모두 짝수 이다. 따라서, $m$은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[ m = \left( \frac{x+y}{2} \right)^2 + \left( \frac{x-y}{2} \right)^2 \]

이 때, $x+y$와 $x-y$가 모두 짝수 이므로 $m$은 두 음아닌 정수의 제곱의 합으로 표현 가능하다. 증명 끝.

보조정리 (3)

만약 $p$가 홀수인 소수라면 아래 조건을 만족하는 정수 $a,\, b,\, k$가 존재한다.

\[ a^2 + b^2 + 1 = kp, \qquad 0 < k < p \]

증명. $p$가 홀수인 소수이므로 $p$를 $2n + 1$이라고 할 수 있다. (단, $n$은 양의 정수) 이 때, 두 집합 $A,\, B$를 다음과 같이 정의하자.

\[ \begin{aligned} A &= \set{a^2}{a = 0,\, 1,\, \ldots,\, n} \\ B &= \set{-b^2-1}{b = 0,\,1,\, \ldots,\, n} \end{aligned} \]

그러면 집합 $A,\, B$ 는 각각 $\bmod p$에 대해 같은 값은 값을 갖지 않는다: 만약 집합 $A$에서 임의의 서로다른 원소 $x^2,\, y^2$가 $\bmod p$에 대해 같다면 $p$가 $x^2 - y^2$를 나누고 $p$가 소수이므로, $p$는 $x-y$ 또는 $x+y$를 나누게 된다. 그런데 $x-y$는 범위가 $-n$ 이상 $n$ 이하이므로 $p$가 나눈다면 $x - y = 0$ 이 되어 $x,\, y$가 서로 다르다는 조건에 모순. 또한 $x+y$ 는 범위가 $1$ 이상 $2n-1$ 이하이므로 $p$가 나눌 수 없다. 마찬가지 방법으로 $B$ 또한 모든 원소들이 $\bmod p$에 대해 다른 값을 가짐을 확인할 수 있다.

만약 $A \cap B = \emptyset$이라 가정해 보자. 그러면

\[ \sharp(A \cup B) = (n+1) + (n+1) = 2n + 2 \]

를 얻는다. (단 $\sharp(X)$는 집합 $X$의 모든 원소의 개수를 나타낸다.) 이제 집합 $C$를 아래와 같이 정의한다.

\[ C = \{ 0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, p-1 \} \]

그러면 $A$와 $B$는 $\bmod p$에 대하여 모두 $C$의 부분집합이고 따라서 $A \cup B \subseteq C$를 얻는다. 그런데 집합 $C$의 원소의 개수가 $2n + 1$ 개 이므로 모순이 발생한다. 결과적으로

\[ \sharp(A \cap B ) \neq \emptyset \]

따라서 우리는 각 집합 $A$와 $B$에서 $\bmod p$ 값이 같은 두 원소 $a^2$과 $(-b^2 - 1)$을 택할 수 있다. 그러므로

\[ a^2 \equiv -1 - b^2 \pmod{p} \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p} \]

따라서 적당한 양수 $k>0$에 대하여 $a^2 + b^2 + 1 = kp$라 할 수 있다. 또한

\[ kp = a^2 + b^2 + 1 \leq n^2 + n^2 + 1 = 2n^2 + 1 < (2n+1)(2n+1) = p^2 \]

이므로 $k < p$도 성립한다. 따라서 증명 끝.

참고로, $kp$가 3개의 제곱수의 합으로 표현되는 것이 아니라 아래처럼 4 개의 제곱수의 합으로 표현된다고 생각하자.

\[ kp = a^2 + b^2 + 1^2 + 0^2 \]

따라서, 홀수인 소수 $p$의 배수 중 4개의 제곱수으로 표현되는 수 $kp$가 언제나 존재함을 알 수 있다.

라그랑주 정리의 증명 (Proof of Lagrange's Four Square Theorem)

증명. 우선 $1$은 자명하게

\[ 1 = 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 \]

로 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 이제 모든 소수 $p$를 4개의 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자: $p = 2$인 경우,

\[ 2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 \]

이므로 성립한다. 또한 $p$가 홀수인 소수일때, 4개의 제곱수의 합으로 표현되는 가장 작은 $p$ 배수가 $kp$라 할 때, $k = 1$임을 보이자. 일단 보조정리 (3)에 따라 적당한 $0<k<p$가 존재하여 $kp$가 4개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 알고 있다. 이 때 $k$를 이러한 $k$들 중에서 최소의 $k$라고 가정하자.

1. $2 \mid k$인 경우,
   \[ x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = kp \equiv 0 \pmod{2} \]이므로, $x,\, y,\, z,\, w$ 중 홀수의 개수와 짝수의 개수가 같아야 한다. 따라서 일반성을 잃지 않고 아래와 같이 가정할 수 있다.
   \[ x \equiv y \pmod{2}, \quad z \equiv w \pmod{2} \]따라서 보조정리 (2)에 의해
   \[ \left( \frac{x+y}{2} \right)^2 + \left( \frac{x-y}{2} \right)^2 + \left( \frac{z+w}{2} \right)^2 + \left( \frac{z-w}{2} \right)^2 = \left( \frac{k}{2} \right) p \]이므로 $k$의 최소성에 모순이 생긴다.
2. $2 \not\mid k$이고 $k \geq 3$인 경우,
   \[ x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = kp \equiv 0 \pmod{k} \]이 때 $a,\, b,\, c,\, d$를 다음과 같이 정의하자.
   \[ x \equiv a,\, y \equiv b,\, z \equiv c,\, w \equiv d \pmod{k}, \qquad \abs{a},\, \abs{b},\, \abs{c},\, \abs{d} < \frac{k}{2} \]따라서
   \[ nk = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \]인 $n$이 존재한다. 그런데
   \[ nk = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 < 4 \times \frac{k^2}{4} = k^2 \]이므로 $0 \leq n < k$임을 알 수 있다.
   (i) 만약 $n = 0$이라면 $a=b=c=d=0$이므로,
   \[ x \equiv y \equiv z \equiv w \equiv 0 \pmod{k} \]이다. 이 때,
   \[ \frac{p}{k} = \left( \frac{x}{k} \right)^2 + \left( \frac{y}{k} \right)^2 + \left( \frac{z}{k} \right)^2 + \left( \frac{w}{k} \right)^2 \in \N \]가 되므로 $p = k$. 따라서, $k < p$라는 조건에 모순이다.
   (ii) $n \neq 0$이라면, 결과적으로 $nk$와 $kp$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
   \[ nk = a^2 + b^2 + c^2 + d^2, \quad kp = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \]이 때, 보조정리 (1)에 의해 $nk$와 $kp$의 곱인 $npk^2$은 다음과 같이 나타내진다.
   \[ \begin{aligned} nk^2p &= r^2 + s^2 + t^2 + u^2 \\ r &= ax + by + cz+ dw \\ s &= ay - bx - cw + dz \\ t &= az - bw -cx+dy \\ u &= aw +bz -cy - dx \end{aligned} \]그런데 앞서
   \[ a \equiv x,\, b \equiv y,\, c \equiv z ,\, d \equiv w \pmod{p} \]라 했으므로
   \[ \begin{aligned} r &\equiv x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = kp \equiv 0 \pmod{k} \\ s &\equiv xy - yx + zw - wz \equiv 0 \pmod{k} \\ t &\equiv xz - yw - zx + wy \equiv 0 \pmod{k} \\ u &\equiv xw + yz - zy - wx \equiv 0 \pmod{k} \end{aligned} \]가 된다. 따라서
   \[ \frac{nk^2p}{k^2} = np = \left( \frac{r}{k} \right)^2 + \left( \frac{s}{k} \right)^2 + \left( \frac{t}{k} \right)^2 + \left( \frac{u}{k} \right)^2 \in \N \]가 되는데, $n$ 은 $k$ 보다 작으므로 $k$의 최소성에 모순이다.

따라서 (a)와 (b)에 의해 $k = 1$일 수 밖에 없고, 따라서 모든 소수 $p$ 는 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 마지막으로 $1$을 제외한 모든 자연수 $n$은 소수들의 곱으로 표현될 수 있고 보조정리 (1)을 $n$의 소인수들에 대하여 반복적으로 적용하면 결국 $n$ 또한 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 이로써 라그랑주의 네제곱수 정리의 증명이 완료된다.