Problems and Solutions #012

Problem #012

아래의 등식을 만족하는 양의 정수 $0 < a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$를 모두 찾아라.

\[ a_1a_2a_3a_4a_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \tag*{$(\ast)$} \]

양의 정수로 이루어진 순서쌍 $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5)$가 $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$를 만족하고 등식 $(\ast)$ 또한 만족한다고 하자. 그러면,

\[ a_1a_2a_3a_4a_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \leq 5 a_5 \]

가 성립해야만 한다. 이 때, 부등식의 등호조건은 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = a_5$이다. 하지만 이 경우, 적당한 양의 정수 $n$이 존재하여 ($a_i = n$이라 놓으면) $n^5 = 5n$을 만족해야만 하는데, $n=0$ 또는 허근이 되어 모순이 발생한다. 따라서 등호조건은 절대로 만족할 수 없고,

\[ a_1a_2a_3a_4a_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < a_5 \]

임을 알 수 있다. 위 부등식을 정리해 주면, $a_1a_2a_3a_4 < 5$ 또는 $a_1a_2a_3a_4 \leq 4$를 얻는다.

여기서 $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4$와 $a_1a_2a_3a_4 \leq 4$를 동시에 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4)$는 총 다섯가지가 존재함을 알 수 있다.

\[ (1,\, 1,\, 1,\, 1), \quad (1,\, 1,\, 1,\, 2), \quad (1,\, 1,\, 1,\, 3), \quad (1,\, 1,\, 1,\, 4), \quad (1,\, 1,\, 2,\, 2) \]

이제 $a_5 = n$이라 가정하고, 각각의 경우를 살펴보자.

1. $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5) = (1,\, 1,\, 1,\, 1,\, n)$인 경우:
       $n = 4+n$이 되어 모순.
2. $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5) = (1,\, 1,\, 1,\, 2,\, n)$인 경우:
       $2n = 5+n$이므로 $n=5$를 얻는다.
3. $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5) = (1,\, 1,\, 1,\, 3,\, n)$인 경우:
       $3n = 6+n$이므로 $n=3$을 얻는다.
4. $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5) = (1,\, 1,\, 1,\, 4,\, n)$인 경우:
       $4n = 7+n$이므로 $n=\frac{7}{3}$을 얻는데, $n$이 양의 정수라는 사실에 모순.
5. $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5) = (1,\, 1,\, 2,\, 2,\, n)$인 경우:
       $4n = 6+n$이므로 $n=2$를 얻는다.

위의 사실을 종합해 보면, 문제의 조건을 만족하는 양의 정수쌍 $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4,\, a_5)$는 오직 세개 뿐이다.

\[ (1,\, 1,\, 1,\, 2,\, 5), \quad (1,\, 1,\, 1,\, 3,\, 3), \quad (1,\, 1,\, 1,\, 1,\, 2) \]