여러가지 상수 (4) - 자연상수 e

이번 포스트에서는 수학에서 거의 전분야에 걸쳐서 사용되는 특별한 상수들에 대하여 알아보려고 한다. 글의 아이디어와 내용은 빛의편지님의 블로그(http://blog.naver.com/lyh901125)을 인용하였다.

 

• 상수 \(e\)는 지수함수의 곡선의 기울기에서 유도되는 특정한 실수로 무리수이자 초월수이다. 로그(logarithm) 계산법을 도입한 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어(John Napier)를 기려 네이피어 상수라고도 한다. 또한, \(e\)는 자연로그(natural logarithm)의 밑(base)이기 때문에 자연상수라고도 불린다.
  
  
• \(e\)의 소수 아래 첫 500자리는 아래와 같다.
  2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772
     40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966
     29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251
     01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016
     84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 
     83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977
     20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078
     54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312
  
  
• \(e\)가 계산된 최초의 기록은 1618년 네이피어(John Napier)에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 \(e\)를 상수로 취급하지는 않았다. \(e\)가 특별한 상수임을 발견한 사람음 야코브 베르누이(Jakob Bernoulli)이다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하였다. 기간이 \(n\)일 때, 이율을 \(1/n\)이라 하면 이 원리 합계의 극한은,
  \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \] 베르누이는 위의 식이 수렴한다는 사실과 그 수렴값이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 \(e\)이다.
  
  
• \(e\)는 무리수이다. 또한 \(e\)는 대수적 방적식의 해가 될 수 없는 초월수임이 1873년 샤를 에르미트(Charles Hermite)에 의해 증명되었다. 이는 초월수를 직접 구성하지 않고, 주어신 상수가 초월수임을 직접 증명한 최초의 사례이다. 또한 \(e\)는 정규수(normal number)이고 한데, 이는 임의의 \(p\)진법을 이용하여 \(e\)를 표현하여라도, \(e\)를 표현한 것의 소숫점 아래 자릿수에 대해, 각각의 자릿수 \( \lbrace 0,1,2, \cdots, (p-1) \rbrace \)가 나올 확률이 모두 \(1/p\)가 된다는 뜻이다.
  
  
• \(e\) 는 함수 \(e^{x}\)의 맥클러린 급수(Maclaurin series)를 이용하여 간단히 표현할 수 있다.
  \[ e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots \] 위의 공식을 이용하면 \(\pi\) 보다 더 많은 소수점 자리를 더 빠르게 구할 수 있다. 1949년 폰 노이만(John von Neumann)이 초기의 컴퓨터 ENIAC을 이용하여 \(e\)의 2010번째 자리를 구하는데 성공한 이래 \(e\)의 자릿수를 구하는 방법이 비약적으로 발전해서  2010년 7월에는 \(e\)의 소숫점 아래 1조자리를 구하는 데 성공하였다.
  
  
• \(e\)에 대한 연분수 표현으로는 다음과 같은 식들이 있다.
  \[\begin{align*} e & = \left[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1, \cdots, 2n, 1,1, \cdots \right] \\ & = \left[ 1;0,1,1,2,1,1,4,1,1, \cdots, 2n, 1,1, \cdots \right] \\ & = \left[ 1;0.5,12,5,28,9,44,13, \cdots, 4(4n-1),(4n+1), \cdots \right] \end{align*} \] 특히, 마지막 연분수는 다른 두 연분수 표현보다 \(e\)에 세배정도 빠르게 수렴한다.
  
  
• \(e\)는 함수의 미분과 적분에서 특별하게 취급된다. 우선 간단한 미분방정식 \( y'=y \)를 만족하는 해는 \( y = e^{x} \)가 되고 이 성질을 이용하여 계수가 상수인 선형 미분방정식의 일반해를 구할 수 있다. 또한 지수함수 \( e^{x} \)를 \( -\infty \)에서 \(1\)까지 적분한 값은 \(e\)이다. 그 밖에도 함수 \(y=x^{x}\)의 최솟값이 \(x=1/e\)에 있다는 것이나, 함수 \(y=x^{(1/x)}\)의 최댓값이 \(x=e\)에 있다는 것도 \(e\)의 특별한 성질이라고 말할 수 있다.
  
  
• 다음과 같은 공식으로 복소지수를 정의한다. 복소수 \(z=x+iy\)에 대하여,
  \[e^{z} = e^{x}(\cos(y) + i \sin(y)) \] 이 공식을 통해서 다음과 같은 드 무아부르의 정리(De Moivre's theorem)을 유도할 수 있다.
  \[ \left( \cos(x) + i \sin(x) \right)^{n} = \cos(nx) + i \sin(nx) \] 이 정리는 복소수의 거듭제곱이나 거듭제곱근을 유도할 때 이용되는 중요한 정리이다.
  
  
• \(e\)는 교란순열(derangement)과도 관련이 있다. \(n\)개를 임의로 배열하는 방법 중, 초기 배열과 완전히 배열이 바뀌는 경우의 경우의 수를 구하면
  \[ D_{n}= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {{n}\choose{k}} (n-k)! = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!} \] 이 되는데, 이를 이용하여 교란순열이 발생할 확률의 \(n\)에 대한 극한을 구해보면
  \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{D_{n}}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.3679 \ldots \] 이 된다.