Algebra/Number Theory

여러가지 상수 (3) - 원주율 π

written by jjycjn   2014. 7. 21. 10:26

이번 포스트에서는 수학에서 거의 전분야에 걸쳐서 사용되는 특별한 상수들에 대하여 알아보려고 한다. 글의 아이디어와 내용은 빛의편지님의 블로그(http://blog.naver.com/lyh901125)을 인용하였다.

  • 원주율(圓周率)은 원의지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다. 수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 \(\pi\)로 표기하고, 파이라고 읽는다. 무리수(irrational number)인 동시에 초월수(transcendental number)이다. 아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 '아르키메데스 상수'라고 부르기도 한다. 원주율은 대략 3.141592이다.원주율 \(\pi\)의 첫 10000번째 짜리까지의 값은 다음과 같다.

  • 고대 그리스 시대부터 \(\pi\)의 정확한 값을 얻기 위한 노력이 계속되어 왔다. 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다. 이때 다각형의 변이 많아질 수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사하게 된다. 이를 바탕으로 기원전에 아르키메데스(Archimedes)는 정 96각형을 작도하면서 \(\pi\)의 값이
    \[ \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} \qquad \Leftrightarrow \qquad 3.1408 < \pi < 3.1429 \]임을 밝혀내고 \(\pi\)의 근삿값으로 3.1416을 제시하였다.

  • 컴퓨터가 도입되기 이전에 가장 긴 자리수의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 샹크스였다. 그는 15년이나 걸려 1873년께 소수점 이하 707자리까지 원주율 값을 계산해냈다. 하지만 후에 그의 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다. 원주율의 계산에 컴퓨터가 도입된 이후 원주율의 계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 더 이상 수학적 의미를 지니지는 않는다. 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용된다.

  • \(\pi\)가 무리수라는 것은 1761년에 요한 하인리히 람베르트가 증명했다. 람베르트 다음과 같이 탄젠트 함수의 연분수 전개식을 이용하여 이를 증명하였다.
    \[ \tan(x) = \frac{x}{1 - \frac{x^{2}}{3 - \frac{x^{2}}{5 - \frac{x^{2}}{7 - \ddots}}}} \]\(x\) 가 \(0\)이 아닌 유리수일 때, 위에 전개된 연분수를 십진기수법으로 나타내면 언제나 순환하지 않는 소수가 되므로 항상 무리수가 된다. 한편, \( \tan(\pi/4)=1 \) 이므로 \( \pi/4 \)는 반드시 무리수여야 한다. 따라서 \(\pi\) 역시 무리수이다.

  • \(\pi\)의 값은 보통 규칙적인 수열의 극한값으로 나타내기도 한다. 라이프니츠는 역탄젠트 함수의 맥클로린 급수(Maclaurin series)를 이용하여 다음과 같은 식을 보였다.
    \[ \tan^{-1}(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}x}{2n-1}} = \frac{x}{1} - \frac{x}{3} + \frac{x}{5} - \frac{x}{7} + \frac{x}{9} - \cdots \]이를 이용하여 라이프니치 수열이라 불리는 다음의 공식을 얻을 수 있다.
    \[ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots \] 하지만 이 수열은 조화급수적으로 수렴하기 때문에 수렴 속도가 굉장히 느리다. 이 외에도 \(\pi\)를 계산하는 공식으로는 다음과 같은 것이 있다. (아래 식은 월리스 곱(Wallis product)이라 불리는 공식이다.)
    \[ \frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \]

  • 17세기의 프랑스 수학자 프랑수아 비에트는 다음과 같은 무한급수로 \(\pi\)를 계산하였다. \[ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{2+\sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdot \cdots \]

  • 현대에는 \(\pi\)의 값을 컴퓨터를 이용하여 정확하게 계산한다. 이에 이용되는 다양한 수열들이 있는데, 가장 유명한 수열은 1914년 라마누잔(Srinivasa Ramanujan)이 발견한 다음의 수열이다.
    \[ \frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4} \ 396^{4n}} \] 이 수열은 1개의 항을 더할 때마다 대략 8자리의 새로운 소숫점 자리수를 만든다. 또 다른 수열은 1987년에 처드노브스키 형제(Chudnovsky brothers)가 발견한 수열인데, 위의 수열보다 복잡하지만 더 빠른 수렴속도(1개의 항을 더할 때마다 대략 14자리의 새로운 소숫점 자리수를 만든다.)를 갖고 있다.
    \[ \frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(6n)!(13591409+545140134n)}{(3n)!(n!)^{3} (-640320)^{3n}} \]

  • \(\pi\) 자체는 물리 상수가 아니지만 물리학의 여러분야에서 두루 사용된다. 이는 자연 현상의 상당수가 원과 관계되어 있기 때문이다. 예를 들어 회전수가 일정하게 유지되는 등속원운동에서 각속도와 원주 속도는 다음과 같이 계산할 수 있다. 분당 회전수를 \(N\)이라 할 때, 각속도 \(\omega\)와 원주속도 \(v\)는 다음과 같다.
    \[ \omega = \frac{2 \pi N}{60}, \qquad v = r \cdot \omega = \frac{2r \pi N}{60} \] 이 외에도 하이젠부르그(Heisenburg)의 불확정성 원리(uncertainty principle)에서의 플랑크 상수 \(h\)에 관한 공식, 전자기력의 법칙, 심지어는 아인슈타인(Albert Einstein)의 일반 상대성 이론에 의한 아인슈타인 방정식에도 \(\pi\)가 등장한다.

  • 통계학에서는 가장 기본적인 분포인 정규분포(normal distribution)의 확률밀도함수(probability density function)에서 \(\pi\) 값을 사용하고 있다. 평균이 \(m\), 분산이 \(\sigma^{2}\)인 정규분호의 확률밀도함수는 다음과 같다.
    \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-m)^{2}}{2\sigma^{2}}} \] 사실 이 식은 다음과 같은 적분결과와 관련이 깊다. 이 정분식에서도 \(\pi\)가 사용된다.
    \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \ dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

  • 뷔퐁(Georges-Louis Leclerc Buffon)이 제기한 뷔퐁의 바늘 문제는 \(\pi\)의 근삿값을 구하는 경험주의적인 방법으로 거론된다. 길이가 \(L\)인 바늘을 일정 간격으로 그린 평행선에 떨어뜨린다고 가정해 보자. 이때 평행선의 간격 \(S\)가 바늘의 길이보다 크다고 하면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 \(n\)번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간횟수 \(x\)번은 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계를 갖는다.
    \[ \pi \approx \frac{2nL}{xS} \] 즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 \(\pi\)에 근사한다.


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