'Algebra/Matrix Algebra'에 해당되는 글 9건

응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산
주어진 n×n 정사각행렬 A의 행렬식(determinant)를 |A| 나타내기로 하자. 이번 글에서는 2×2 행렬의 행렬식을 구하는 계산만을 반복하여 A의 행렬식을 구하는 도지슨의 응집 방법(condensation method)에 대하여 알아볼 것이다. 여기서 찰스 럿위지 도지슨(Charles Lutwidge Dodgson)은 소설 "이상한 나라의 앨리스(Alice's Adventures in Wonderland)"의 저자로 잘 알려진 루이스 캐럴(Lewis Carroll)의 본명이다. 도지슨의 응집 방법(condensation method) 도지슨의 응집 방법(condensation method)은 주어진 행렬쌍 k×k 정사각행렬 A..
Algebra/Matrix Algebra  |  2020. 9. 14. 11:35
두 행렬(matrix)의 기하평균(geometric mean)에 대하여
주어진 두 실수 a,b∈R의 평균(mean)을 구하는 다양한 방법이 존재하지만, 그 중에서 가장 잘 알려진 평균으로는 a,b의 산술평균(arithmetic mean): A(a,b)=a+b2 기하평균(geometric mean): G(a,b)=ab, (단, a,b>0) 조화평균(harmonic mean): H(a,b)=2a−1+b−1, (단, a,b≠0) 이 있다. 앞으로의 논의를 간단히 하기 위해서 (세 평균을 자연스럽게 정의하기 위한 공통 범위인) a,b>0인 경우만 고려해 주도록 하자. 위와 같이 두 양의 실수 $a,\, b >..
Algebra/Matrix Algebra  |  2019. 6. 13. 14:18
정사각행렬(square matrix)의 거듭제곱
정사각행렬(square matrix) A에 대하여 행렬의 거듭제곱을 정의할 수 있다. 예를 들어 3×3 행렬 A가 A=[11−13−151−13] 와 같이 주어졌다고 하자. 그러면 \[ A^2 = \left[ 11−13−151−13 \right] \left[ 11−13−151−13 \right] = \left[ \begin{array}{rrr} ..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 10. 2. 02:44
멱영행렬(nilpotent matrix)과 고윳값(eigenvalue) 사이의 관계
n×n 정사각행렬 A가 주어졌다고 하자. 만약 적당한 양의 정수 k가 존재하여 Ak=0이 성립하면, A를 멱영행렬(nilpotent matrix)라 정의한다. 멱영행렬의 고윳값(eigenvalue)를 생각해 보면 재미있는 사실을 발견할 수 있는데, 이는 다음과 같다. 정리. n×n 정사각행렬 A가 주어졌다고 하자. 이 때, 다음 세 명제는 서로 동치이다. A는 0을 유일한 고윳값으로 갖는다. An=0이 성립한다. A는 멱영행렬이다. 증명. (a)⇒(b)⇒(c)⇒(a)를 각..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 10. 2. 02:41
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)의 행렬식(determinant)
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이란 전치행렬(transpose)이 덧셈의 역원과 같은 행렬이다. 즉, n×n 실행렬 A에 대하여 AT=−A가 성립할 때, A를 반대칭행렬이라 한다. 따라서 임의의 반대칭행렬 A에 대하여 aij를 행렬 A의 (i,j)-원소라 하면 다음을 얻는다. (∗)aij=−aji∀i,j∈{1,2,…,n} 예를 들어 다음의 행렬들은 모두 반대칭행렬의 예들이다. \[ \left[ 01−10 \right] , \quad \left[..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 5. 7. 23:36
Problems and Solutions #038
Problem #0383차 정사각행렬 A, B가 A2=AB+BA를 만족할 때, det(AB−BA)=0임을 보여라. A2=AB+BA이므로 AB=A2−BA, BA=A2−AB가 성립한다. 따라서\[ \begin{align*} \det(AB - BA) &= \det(A^2 - 2BA) = \det((A - 2B)A) \[5px] &= \det(A - 2B) \det(A) = \det(A) \det(A - 2B) \[5px] &= \det(A(A - 2B)) = \det(A^2 - 2AB) \[5px] &= \det(BA - AB) = \det(-(AB - BA)) \[5px] &= (-1)^3 \det(AB - BA) = -\det..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 10. 13. 01:13
셔먼-모리슨-우드버리 공식(Sherman–Morrison-Woodbury formula)
지난 글에서는 주어진 행렬 A의 행렬식과 역행렬을 알고 있을 때, 이 행렬을 계수(rank)가 1인 행렬 unvnT을 이용하여 갱신한 새로운 행렬 A+unvnT의 행렬식을 구하는 방법에 대하여 알아보았다. 이번 글에서는 이 새로운 행렬의 역행렬을 구하는 방법을 제공하는 셔먼-모리슨 공식(Sherman–Morrison formula)에 대해서 알아보도록 하자. 셔먼-모리슨 공식(Sherman–Morrison formula) 1949년 셔먼(Jack Sherman)과 모리슨(Winifred J. Morrison)이 발표한 이 공식은 주어진 행렬 A의 역행렬을 알고 있을때, $A + \mathbf{u} \mat..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 6. 20. 04:39
행렬식 보조정리(Matrix Determinant Lemma)
어떤 행렬에 대한 계산을 필요로 하는 소스코드를 작성중이라 해보자. 이제 코딩을 하던 중에 어떤 반복문을 작성해야 하는데, 일단 행렬 An이 주어져 있고 이 행렬 An의 행렬식(determinant)역행렬을 계산했다고 하자. 이제 이 반복문에서 행렬이 계수(rank)가 1인 행렬 unvnT에 의해 An+1=An+unvnT로 갱신되었다고 한다면 (즉, 행렬 An이 rank one update가 되었다면), 이 새로운 행렬 An+1의 행렬식과 역행렬을 어떻게 하면 비교적 빠르게 구할 수 있을까? 물론 $A_{n+1..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 6. 17. 11:49
재미있는 증명 하나
이번에 증명하고자 하는 정리는, 정리의 내용 자체만으로도 흥미로울 뿐만 아니라, 정리를 증명하는 방법 또한 매우 신기해서 이곳에 그 내용을 정리해서 올려보고자 한다. 이 정리는 Quadratic Semidefinite Programming 분야에서 S-lemma라고 불리는 정리를 증명할 때에 보조정리로써 사용되는데, 그 내용은 다음과 같다. Theorem.두 행렬 P와 Q가 모두 n×n symmetric matrix라 하자. 만약 tr(P)≥0 이고 tr(Q)<0이면, x¯⊤Px¯≥0과 x¯⊤Qx¯<0을 동시에 만족하는 $\bar{x..
Algebra/Matrix Algebra  |  2015. 11. 20. 06:49

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