'Others'에 해당되는 글 115건

Words and Numbers
※ 원 출처는 thousandmaths (인듯 하다. Tumblr에서 글을 리블로그하는 구조를 잘 몰라서 원 출처가 맞는지 확실하지는 않다.) I wasn’t particularly convinced by the evidence, but I eventually realized a proof that n and n+1 share at least one letter for all n.First, large numbers: n≥1,000,000 is clear because all such numbers have at least one -ILLION. (If you use the long scale, there’s no problem at the transitions between th..
Others/Articles  |  2016. 8. 17. 04:58
파이(π)와 타우(τ)
외국의 블로그를 구경하던 중에 아래와 같은 재미있는 차트를 발견했다. "원의 둘레와 원의 지름의 비"로써 정의되는 파이(π)의 불합리성(?)을 해결하기 위해서 "원의 둘레와 원의 반지름의 비"로써 새로운 수학 상수 타우(τ)를 정의하고 (정의에 따라서 τ=2π=6.28⋯가 된다), 원주율을 π가 아닌 τ로 정의해야 하는 여러가지 이유에 대해서 설명하고 있는데, 하나하나 살펴보니 정말 그럴듯 한것 같기는 하다. τ를 사용함으로써 원주율의 기하학적 의미가 좀 더 명확해 지고, π를 포함하는 여러가지 수식이 더 간결하게 표현되는 장점이 있기는 하지만, 원주율을 π에서 τ로 바꾸기 위해서 들어갈 천문학적인 비용를 추정..
Others/Articles  |  2016. 8. 17. 04:18
Problems and Solutions #008
Problem #008 수열 (an)의 n번째 항을 다음과 같이 정의하자. an은 왼쪽에서 오른쪽으로 세었을 때 n개의 1, 1개의 0, 다시 n개의 8, 마지막으로 1개의 9로 구성된 수이다. 예를 들어 수열 (an)의 첫 4개의 항은 아래와 같다. a1=1089a2=110889a3=11108889a4=1111088889 이때 수열 (an)의 모든 항이 제곱수(perfect square)임을 증명하여라. 우선 간단한 계산을 통해서 \[ \begin{aligned} a_1 &= 1089 = 33^2 \ a_2 &= 110889 = 3..
Others/High School Math  |  2016. 8. 16. 04:55
Problems and Solutions #007
Problem #007 x=a가 아래 방정식의 한 해라고 하자. x2016−4x+3=0. 이 때, 아래 식이 가질 수 있는 모든 값을 구하여라. 1+a+a2+a3+⋯+a2015. 우선 x=a가 주어진 방정식 x2016−4x+3=0의 해라고 하자. 만약 a≠1이면 등비급수의 부분합 공식에 의하여, 1+a+a2+a3+⋯+a2015=a2016−1a−1. 여기서 a2016=4a−3이므로, 이를 위 식에 대입하면, \[ 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots + a^{2015} = \frac{a^{201..
Others/High School Math  |  2016. 8. 16. 02:57
[해답] 특별한 10자리 숫자 (Matlab 코드)
아래의 문제의 해답을 Matlab을 이용하여 구해보았다. 0부터 9까지 10개의 숫자를 단 한번씩만 사용하여 다음의 규칙을 만족하는 10자리의 숫자를 만들어라: 모든 1≤n≤10에 대하여, 이 숫자의 앞에서부터 n자리 까지가 n으로 나누어 떨어진다. 코드 실행시간을 줄이기 위하여 총 세가지 시도를 해 보았는데 각각은 다음과 같다. 무작정 10!=3628800 가지 경우를 모두 체크 a5=5, a10=0임을 이용하여 8!=40320 가지 경우를 체크 2번 조건에 추가로 a2,a4,a6,a8∈{2,4,5,8}, $a_{1},\, a_{3},\, a_{7},\, a..
Others/Matlab  |  2016. 8. 10. 03:36
Problems and Solutions #006 [Matlab 코드]
Problem #006 2n의 첫 네자리의 숫자가 2016이 되게 하는 n이 존재함을 보여라. 위 문제에 대한 증명은 http://jjycjnmath.tistory.com/265에서 확인할 수 있다. 이 증명에 따르면 위 문제의 조건을 만족하는 n의 존재성은 알 수 있지만 실제로 어떻게 n을 구할 수 있는지는 알 수가 없다. 그래서 Matlab을 이용하여 n을 구하는 알고리즘을 작성해 보았다. 코드는 다음과 같다. n=10; a=1024; b=0; while b ~= 2016 n = n+1; a = 2*a; % a = 2^n % number a를 string으로 변환한 뒤 첫 4개의 숫자만을 호출 c = num2str(a); b = str2num(c(1:4)); if a > 10^..
Others/Matlab  |  2016. 8. 3. 13:16
Problems and Solutions #006
Problem #006 2n의 첫 네자리의 숫자가 2016이 되게 하는 n이 존재함을 보여라. ※ 위 문제는 임의의 k자리 양의 정수 x에 대하여 2n의 첫 k 자리의 숫자가 x가 되게 하는 n의 존재성을 증명하는 문제로 확장 가능하다. (또한 이제부터 보일 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.) 위 문제는 아래의 부등식을 만족하는 양의 정수 m,n을 찾는 문제와 같다. 2016⋅10m≤2n<2017⋅10m 위 식의 양변에 밑이 10인 로그를 취하면 m+log⁡2016≤nlog⁡2<m+log⁡2017 이제 임의의 x에 대하여 {x}를 x의 소수부분, 즉, ..
Others/Olympiad  |  2016. 8. 3. 12:34
Problems and Solutions #005
Problem #005 점 O를 사각형 ABCD의 두 대각선 AC와 BD의 교점이라고 하자. 또한 삼각형 ABO, BCO, CDO, DAO의 넓이를 각각 S1, S2, S3, S4라고 하자.이때 S1, S2, S3, S4를 적당한 순서로 배열하여 연속적인 정수가 되게 할 수 있을까? 점 A에서 선분 BD에 내린 수선의 발을 P, 점 C에서 선분 BD에 내린 수선의 발을 R이라고 하자.그러면 각 삼각형들의 넓이는 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ S_1 = \frac{1}{2}\,\overline{BO}\,\overline{AP}, \quad S_2 = \frac{1}{2}\,\overline{BO}\,\over..
Others/Middle School Math  |  2016. 8. 2. 05:36
Problems and Solutions #004
Problem #004 당신은 친구에게 세개의 주사위를 던지라고 하였다. 그 뒤에, 친구에게 첫번째로 나온 주사위의 눈에 5를 곱한 뒤 7을 더하고, 이 결과에 2를 곱한 후에 두번째로 나온 주사위의 눈을 더하라고 하였다. 그 다음 그 결과에 10을 곱하고 마지막으로 세번째로 나온 주사위의 눈을 더한 후에 그 결과를 말하라고 했더니 401이라고 하였다. 그렇다면 이 세 주사위의 눈은 각각 (순서대로) 무엇이었을까? 주어진 세 주사위의 눈을 각각 x, y, z라 하자. 그러면 위 문제는 아래의 식을 만족하는 정수해 1≤x,y,z≤6를 찾는 문제와 같다. (1)10[2(5x+7)+y]+z=401 이제 식 (1)로부터 $10[2(5x+7)..
Others/Middle School Math  |  2016. 8. 2. 03:41
Problems and Solutions #002
Problem #002 피타고라스 삼중쌍(Phythagorean triple)이란 아래의 식을 만족하는 양의 정수의 쌍 (a,b,c)를 말한다.a2+b2=c2위 식을 만족하는 피타고라스 삼중쌍은 무한함이 알려져 있다. 특히, (3,4,5)는 연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍이다. 이와 같이 연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍이 또 존재할까? 만약 존재한다면 그러한 삼중쌍을 모두 찾고, 아니면 존재하지 않음을 증명하여라. 연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍은 (3,4,5)가 유일함을 증명할 것이다. 만약에 조건을 만족하는 삼중쌍이 존재한다면 적당한 양의 정수 n에 대하여 $(n-1,\, n,..
Others/Middle School Math  |  2016. 7. 30. 00:39

티스토리툴바