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극값 정리의 조건 완화 (2) 연속성(Continuity)
저번 글에서는 극값 정리의 조건 중 제약집합(constraint set)의 긴밀성(compactness)를 완화하는 방법에 대해서 살펴보았다. 이번 글에서는 극값 정리의 조건 중 목적함수(objective function)의 연속성(continuity)를 완화하는 방법에 대해서 살펴보고자 한다. 목적함수 f의 연속성(continuity) 먼저 연속성보다 약한 조건인 반연속성(semi-continuity)를 정의하자. 정의 2.1 (Lower Semi-continuity) 함수 f:Rn→R에 대하여, f가 아래의 두 동치인 조건 (1) 또는 (2) 중 하나를 만족하면 x∗로 수렴하는 임의의 수열 (xn)에 대하여 \[ f(x^*) \leq \liminf_n f(x_n)...
Applied Mathematics/Optimization  |  2016. 9. 28. 04:45
극값 정리의 조건 완화 (1) 긴밀성(Compactness)
실해석학에서 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 정리는 아래와 같다. 정리 (극값 정리 또는 최대-최소 정리) 집합 E⊆Rn를 긴밀집합(compact set)이라 하고 함수 f:E→R가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 f는 집합 E 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 x∈E에 대하여 f(x∗)≤f(x)≤f(y∗)를 만족하는 x∗,y∗∈E가 존재한다. 이 정리에서 중요한 사실은 주어진 집합 E의 긴밀성(compactness)과 ..
Applied Mathematics/Optimization  |  2016. 9. 23. 05:19
극값 정리(Extreme Value Theorem)의 한 응용
실해석학에서 긴밀 집합(compact set)에 대한 개념을 배우고 난 후 배우는 수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 정리가 하나 있다. 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 이 정리는 아래와 같다. 정리 1 (극값 정리 또는 최대-최소 정리) 집합 E⊆Rn를 긴밀 집합(compact set)이라 하고 함수 f:E→R가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 f는 집합 E 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 x∈E에 대하여 f(x∗)≤f(x)≤f(y∗)를 만..
Analysis/Real Analysis  |  2016. 9. 2. 11:21
Normed Space - 2. Finite Dimensional Normed Space
2. Finite Dimensional Normed Linear Space X를 차원이 n인 노름공간(normed linear space)이라 하자. 또한 Let B={e1,…,en}를 X의 기저(basis)라 하자. 원소 x∈X를 택하여 고정하면, xi∈\F이 존재하여 x=x1e1+x2e2+⋯+xnen. 이 성립한다. 이제, ‖⋅‖를 X 위에서 주어진 노름(norm)이라 하자. X 위에서 ‖⋅‖1을 ‖x‖1:=|x1|+|x2|+⋯+|xn|. 으로 정의하면, $\norm{\cdot..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 4. 30. 00:56

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