[이전문서] N×N×N 큐브의 경우의 수 유도 - 4×4×4 큐브

이 포스트는 약 8년쯤 전에 모 클럽에 큐브 관련 연구글로 올렸던 글이다. 지금 보면 부끄러울 정도로 경험과 직관에 의존해서 썼던 글이긴 하지만, 다시 보니까 그래도 한가지에 참 열정적으로 빠져있었구나 하는 생각이 든다. 우연히 클럽을 다시 들어갔다가 이 글을 발견하여 이쪽 블로그로 옮겨본다.

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3. 4×4×4 큐브의 경우의 수 유도

우선 코너 조각의 경우의 수를 살펴보도록 하죠.

\[7! \times 3^{6} \]

이제 4×4×4 큐브의 엣지 조각을 살펴 봅시다. 일단 엣지 조각은 모두 24개가 있습니다. 따라서 이 조각들의 위치의 경우의 수는 총,

\[24!\]

가지가 되겠군요. 이제 엣지 조각의 방향을 살펴 봅시다. 우선 결론부터 말하자면 4×4×4 큐브의 엣지 조각의 방향은 고려해줄 필요가 없습니다.

위쪽 그림을 보시면 아시겠지만, 왼쪽 그림의 엣지 조각이 바로 옆자리로 이동할 때에는 처음의 방향을 가지고 그대로 옆으로 이동하는것은 물리적으로 불가능 합니다. 반드시 방향이 바뀌어 옆으로 이동하게 되죠. 따라서 이미 어떠한 엣지 조각의 위치가 정해지는 순간, 그 조각의 방향도 자동적으로 결정되게 됩니다. 따라서 엣지 조각의 경우의 수는 변함이 없이,

\[24!\]

가 되겠네요.

이제 센터 조각을 살펴 봅시다. 역시 센터 조각도 총 24개가 있습니다. 센터 조각의 경우 방향을 고려할 필요가 없으므로, 위치만 잘 고려해 주면 됩니다. 일단 조각은 24개 이므로, 센터 조각의 경우의 수는,

\[24!\]

가 됩니다. 하지만 여기서 주의해야 할 것이 있습니다. 바로 센터 조각들을 위치시키는 경우는 일종의 중복 순열이라는 것이죠. 예를 들어 흰색 센터 조각들이 아래 그림과 같이 배열되었다고 가정해 봅시다.

흰색 센터 조각들을 위 그림과 같이 배열하는 경우의 수는,

\[4!\] 

가 되겠죠? 하지만, 위 24가지 경우는 모두 구분할 수 없는 한가지 상황입니다. 따라서 한 색상당 24번씩 경우의 수가 겹친게 되겠죠. 센터 조각의 색상은 총 6가지 이므로, 센터 조각의 경우의 수에서 총,

\[ \left( 4! \right)^{6} \]

번의 경우의 수가 겹친 셈이 됩니다. 따라서 수정된 센터의 경우의 수는,

\[ \frac{24!}{\left( 4! \right)^{6}} \]

가 됩니다.

혹시 흔히 말하는 토끼 이빨이나 바보 토끼 이빨이 나오는 경우도 고려해야 하지 않느냐 하시는분이 있을거 같은데, 토끼 이빨이나 바보 토기 이빨은 센터 조각의 위치에 따라 결정되게 됩니다. 센터 조각의 색을 맞추어 주었을때 한 생각 안에서 인접한 두 센터 조각의 위치가 바뀌게 되면 바보 토끼 이빨이, 대각선상에 있는 센터 조각의 위치가 바뀌게 되면 토끼 이빨이 나오게 되는데요. 이러한 경우 모두, 색상만으로는 모두 같은 경우와 같습니다. 따라서 따로 고려를 해주지 않아도 되는거죠.

따라서 모든 경우의 수를 곱해보면,

\[\frac{\left( 7! \times 3^{6} \right) \times \left( 24! \right)^{2}}{\left( 4! \right)^{6}} \]