[이전문서] N×N×N 큐브의 경우의 수 유도 - 2×2×2 큐브

이 포스트는 약 8년쯤 전에 모 클럽에 큐브 관련 연구글로 올렸던 글이다. 지금 보면 부끄러울 정도로 경험과 직관에 의존해서 썼던 글이긴 하지만, 다시 보니까 그래도 한가지에 참 열정적으로 빠져있었구나 하는 생각이 든다. 우연히 클럽을 다시 들어갔다가 이 글을 발견하여 이쪽 블로그로 옮겨본다.

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1. 2×2×2 큐브의 경우의 수 유도

2×2×2 큐브의 경우 큐브 전체의 회전을 고정시켜줄만한 센터 조각이 존재하지 않습니다. 그래서 일단 큐브의 코너 조각 하나를 완전히 고정시켜 주어야 합니다.

위 그림과 같이 일단 하나의 조각을 고정시키고 나면, 이제 나머지 7개의 조각만 생각해 주면 됩니다. 일단 7개의 코너 조각들을 배치하는 경우의 수는

\[ _{7}P_{7} = 7! \]

이 되겠죠. 또한 코너는 한 조각이 각각 세가지의 방향을 가지고 있습니다. 하지만 이미 코너 한조각은 완전히 고정을 시켜 주기로 약속했기 때문에 이 조각의 방향성은 제외해야 하고, 또한 경호형 글을 보시면 알겠지만, 마지막 코너 한조각은 이미 제 나름대로의 방향을 가지고 있는 나머지 7개의 코너조각의 방향에 종속되게 됩니다. 따라서 마지막 코너 조각의 방향성도 고려할 필요가 없겠죠. 즉, 총 6개의 코너 조각의 방향성만 고려해 주면 됩니다.

\[3^{6}\]

위 두개는 곱사건이므로 간단히 곱해주면 2×2×2 큐브의 경우의 수를 유도할 수 있습니다.

\[7! \times 3^{6} \]