[이전문서] N×N×N 큐브의 경우의 수 유도 - 5×5×5 큐브

이 포스트는 약 8년쯤 전에 모 클럽에 큐브 관련 연구글로 올렸던 글이다. 지금 보면 부끄러울 정도로 경험과 직관에 의존해서 썼던 글이긴 하지만, 다시 보니까 그래도 한가지에 참 열정적으로 빠져있었구나 하는 생각이 든다. 우연히 클럽을 다시 들어갔다가 이 글을 발견하여 이쪽 블로그로 옮겨본다.

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4. 5×5×5 큐브의 경우의 수 유도

5×5×5 큐브의 경우 여태까지 구한 2×2×2 큐브 부터 4×4×4 큐브 까지 구한 경우의 수들을 종합하면 쉽게 구할 수 있습니다.

선 계속 그래왔듯이 코너 조각의 경우의 수부터 구합니다.

\[7! \times 3^{6} \]

그 다음엔 아래쪽 그림을 보세요.

위 그림에서 하늘색으로 칠한 조각들은 3×3×3 큐브의 센터 조각과 엣지 조각과, 그 위치나 물리적 성질면에서 동일한 구조를 가지고 있습니다. 따라서 위 조각들의 경우의 수는,

\[ 24 \times \left( 12! \times 2^{10} \right) \]

가 됩니다.

그다음 그림을 보세요.

위 그림은 4×4×4 큐브의 센터 조각과 엣지 조각과 비슷해 보입니다. 실제로 위치나 물리적 성질도 동일하고요. 따라서 위 조각들의 경우의 수도 쉽게 구할 수 있습니다.

\[ \frac{ \left( 24! \right)^{2}}{\left( 4! \right)^{6}} \]

이제 마지막으로,

위 그림에 있는 위치의 조각만 남았군요. 이 센터 조각 역시 24개가 있고, 4개씩 6 색상의 중복순열입니다. 따라서 4×4×4 큐브에서 센터 조각의 경우의 수를 구했던 과정을 그대로 밟으면 경우의 수는,

\[ \frac{ \left( 24! \right)^{2}}{\left( 4! \right)^{6}} \]

가 됩니다.

이제 각각의 경우의 수를 모두 구했으니, 총 경우의 수를 구해 보면,

\[ \frac{\left( 7! \times 3^{6} \right) \times 24 \times \left( 12! \times 2^{10} \right) \times \left( 24! \right)^{3}}{ \left( 4! \right)^{12}} \]