[이전문서] N×N×N 큐브의 경우의 수 유도 - 3×3×3 큐브

이 포스트는 약 8년쯤 전에 모 클럽에 큐브 관련 연구글로 올렸던 글이다. 지금 보면 부끄러울 정도로 경험과 직관에 의존해서 썼던 글이긴 하지만, 다시 보니까 그래도 한가지에 참 열정적으로 빠져있었구나 하는 생각이 든다. 우연히 클럽을 다시 들어갔다가 이 글을 발견하여 이쪽 블로그로 옮겨본다.

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2. 3×3×3 큐브의 경우의 수 유도

경호형이 따로 설명해 놓은 글이 있기 때문에, 따로 설명하지는 않으려고 했는데, 경우의 수를 세는 접근 방법에서 약간 차이가 있기 때문에 간단하게 설명하고 넘어가겠습니다. 경호형 글의 경우, 먼저 센터 조각들의 위치를 고정시켜 주었었죠? 저는 경우의 수를 유도하는데 있어서 통일성을 위해서 일단 무조건 코너 조각을 기준으로 경우의 수를 판단해 나가겠습니다. 일단 코너 조각들 위치와 방향의 경우의 수는 2×2×2 큐브의 경우의 수와 같으므로,

\[7! \times 3^{6} \]

가 되겠죠. 이제 센터 조각들을 살펴 봅시다. 편의상 흰색 센터 조각을 먼저 위치시킨다고 생각해 봅시다. 흰색 센터조각의 위치를 정하고 나면 자동적으로 노란색 센터 조각의 위치도 고정되게 되겠죠?

이제 나머지 네 조각의 위치를 생각해 봅시다. 예를들어 흰색과 노란색 센터 조각이 고정된 상태에서 빨간색 센터 조각의 위치를 정하고 나면 나머지 세개의 센터 조각의 위치도 자동적으로 정해지게 됩니다. 따라서 결과적으로 흰색 센터조각과 빨간색 센터 조각의 위치만 고려해 주면 되겠군요. 흰색 센터조각이 놓일 수 있는 위치의 경우의 수는 총 6가지, 흰색과 노란색 센터 조각이 고정된 후에 빨간색 센터 조각이 놓일 수 있는 위치의 경우의 수는 총 4가지 이므로, 전체 경우의 수는 ,

\[ 6 \times 4 = 24 \]

가 됩니다.

이제 엣지 조각들을 봅시다. 경호형이 자세히 설명해 놓았으므로 따로 설명 드리지는 않겠습니다. 마지막 엣지 조각 두조각은 코너 조각의 위치에 종속되므로, 총 10개의 엣지 조각의 위치만 고려하면 되고, 마지막 엣지 조각 한조각의 방향은 다른 11개의 엣지 조각의 방향에 종속되므로, 총 11개의 엣지 조각의 위치만 고려하면 됩니다. 이를 식으로 나타내면,

\[_{12}P_{10} \times 2^{11} \]

가 되겠죠? 이 식을 전개하여 정리하면 다음과 같이 됩니다.

\[12! \times 2^{10} \]

따라서 3×3×3 큐브의 경우의 수는,

\[ \left( 7! \times 3^{6} \right) \times 24 \times \left( 12! \times 2^{10} \right) \]