Problems and Solutions #037
Problem #037$x^2 + y^2 = 4$를 만족하는 실수 $x,\, y$에 대하여 $f(x,\,y) = 15x^2 + 8xy$의 최솟값과 최댓값을 구하여라. 풀이 1. 다음과 같이 라그랑지 함수 $L$을 정의하자.\[ L(x,\,y,\, \lambda) = 15x^2 + 8xy + \lambda(x^2 + y^2 - 4) \]이제 위 함수를 $x,\,y,\,\lambda$에 대한 편미분을 구하여 $0$으로 두면, 다음의 연립 방정식을 얻는다. \begin{align} L_x(x,\,y,\,\lambda) &= 30x^2 + 8y + 2x\lambda = 0 \\[5px] L_y(x,\,y,\,\lambda) &= 8x + 2y\lambda = 0 \\[5px] L_{\lambda}(x,\,y,\..
Applied Mathematics/Optimization  |  2017. 9. 20. 23:43
순서체(ordered field)에 대하여
$F$가 임의의 체(field)하 하자. 그러면 다음 두 주건을 만족하는 집합 $P \subseteq F$를 체 $F$의 순서라 한다. [O1] 임의의 원소 $a \in F$에 대하여, $a \in P$, $a = 0$, 또는 $-a \in P$ 중 오직 한가지 경우만을 만족한다. 즉, $F$를 집합 $P$, $\{0\}$, $-P$의 분리합집합(disjoint union)으로 나타낼 수 있다. [O2] 만약 $a,\,b \in P$이면, $a+b \in P$이고 $ab \in P$이다. 체 $F$에 위 두 조건을 만족하는 집합 $P$가 존재할 때, $(F,\, P)$를 순서체(ordered field)라 하고 집합 $P$의 원소를 양의 원소(positive element), 집합 $-P$의 원소를 음의..
Algebra/Abstract Algebra  |  2017. 9. 19. 05:34
닫힌 유계 집합이지만 긴밀 집합이 아닌 집합
$(X,\, \norm{\cdot})$가 노름공간(finite dimensional normed vector space)이라 하자. 그러면 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 의해 다음 사실이 성립한다. 정리. 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem) $X$가 유한차원이면, 임의의 부분집합 $S$에 대하여 다음이 동치이다. $S$는 닫힌 집합(closed set)이면서 동시에 유계(bounded)인 집합이다. $S$는 긴밀집합(compact set)이다. 일반적으로 임의의 노름공간 $(X,\, \norm{\cdot})$에서 집합 $S$가 긴밀집합이면, 언제나 $S$는 닫힌 유계집합이다. 이는 긴밀집합의 정의를 통해 간단히 보일 수 있다. 하이네-보렐 정리는 위 $X$가..
Geometry/General Topology  |  2017. 9. 17. 05:54
코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)
코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)은 급수 수렴 여부를 판정하는 방법 중의 하나로써, 주어진 급수 $\sum a_n$가 양항 급수이고 급수의 각 항이 감소수열일 때, 사용할 수 있는 판정법이다. 정리. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test) $(a_n)$이 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 $a_n \geq 0$, $a_n \geq a_{n+1}$을 만족하는 실수열이라 하자. 그러면 두 급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad \sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n} \] 는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. 증명. 먼저 수열 $(a_n)$이 감소 수열 이므로, 임의의 $m \in \N$에 대하여 다..
Analysis/Calculus  |  2017. 9. 16. 01:50
라비의 판정법(Raabe's test)
비 판정법은 급수의 수렴 여부를 판정하는 매우 강력한 도구 중 하나이다. 비 판정법이란, "주어진 급수 $\sum_n a_n$에 대하여 다음의 극한\[ \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}} = L \]에 대하여, $L>1$인 경우 절대 수렴(absolutely convergent)하고 $L
Analysis/Calculus  |  2017. 9. 15. 11:19
모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수
지난 글에서 토매 함수(Thomae function)이라 불리는 함수를 정의하고, 이 함수가 모든 유리수점에서 불연속이고 모든 무리수점에서 연속인 함수임을 보였다. 이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 자연스러운 질문을 던질 수 있다.모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수가 존재하는가?이번 글에서는 위와 같은 성질을 만족하는 함수는 존재할 수 없음을 증명하고자 한다. 모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수먼저 실함수 $f : \R \to \R$이 주어졌다고 하자. 이제 집합 $D(f)$를 $f$가 불연속이 되게 하는 점들의 집합으로 정의하자. 즉, \[ D(f) = \set{c \in \R}{\text{$f$ is not continuous at $c$}} \] 로 정의..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 9. 15. 01:47
토매 함수(Thomae function)에 대하여
디리클레 함수(Dirichelet function)란 모든 점에서 불연속인 함수의 한 예로써, 다음과 같이 정의되는 함수이다.\[ f(x) = \begin{cases} 0, \quad & \text{if $x \notin \Q$} \\ 1, \quad & \text{if $x \in \Q$} \end{cases} \]이 함수가 모든 점에서 불연속임은 유리수와 무리수의 조밀성을 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 토매 함수(Thomae function)이제 위 함수의 변형인 토매 함수(Thomae function)에 대해 살펴보자. 먼저 토매 함수의 정의는 다음과 같다. 정의. 토매 함수(Thomae function) 토매 함수(Thomae function)는 다음과 같이 정의되는 함수를 말한다.\[ f(..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 9. 14. 06:24
Problems and Solutions #036
Problem #036어떤 충분히 큰 정수가 $1$부터 $10000$까지의 수 중에서 정확히 두 개의 수를 제외한 모든 수로 나누어떨어진다고 한다. 이때 제외되는 두 개의 수가 연속인 정수라면, 이 두 수는 어떤 수여야 할까? 문제의 조건을 만족하는 충분히 큰 정수를 $N$이라 하고, $N$을 나누지 않는 두 연속인 정수를 각각 $k$, $k+1$이라 하자. 만약 $k \leq 5000$이라면 $N$은 $k$, $k+1$, $2k$로 나누어떨어지게 되기 때문에 문제의 가정에 모순이다. 따라서 $5000 < k < 10000$임을 알 수 있다. 이제 서로소인 두 정수 $m$과 $n$이 존재하여, $k = mn$과 같이 나타낼 수 있다고 가정해 보자. 만약에 $m$과 $n$이 모두 $N$을 나눈다면 $k$ ..
Others/Olympiad  |  2017. 8. 16. 04:00
Problems and Solutions #035
Problem #035사차방정식 $x^4 - 3x + 2 = 0$의 네 근을 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하자. 이 때, $a^3 + b^3 + c^3 + d^3$의 값을 구하여라. 풀이1. 사차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 \[ a + b + c + d = 0, \quad abc + abd + acd + bcd = 3 \] 임을 알 수 있다. 따라서 \begin{align*} 0 &= (a + b + c + d)^3 \\[5px] &= a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \\ & \qquad\; + 3a^2(b + c + d) + 3b^2(a + c + d) + 3c^2(a + b + d) + 3d^2(a + b + c) \\ & \qquad\; + 6(abc + abd + acd..
Others/High School Math  |  2017. 8. 16. 01:20
MathJax 환경에서 수식에 색을 넣는 방법
보통 LaTeX에서 글이나 수식에 색을 넣기 위해서는 color 또는 xcolor 패키지를 이용한다. 다행이 MathJax가 color 패키지를 제공하는데 이를 사용하기 위해서는 추가로 다음 스크립트를 불러와야 한다. 일단 위 스크립트를 불러오고 나면 다음과 같이 수식에 색을 넣어 줄 수 있다. \[ \textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0 \implies x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2 - 4\textcolor{red}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{red}{a}} \] 위 구문은 실제로 아래와 같이 ..
Others/LaTeX  |  2017. 8. 12. 02:04

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